Identité de polarisation et norme d'opérateur

Je n'ai regardé que la première, question pas terrible puisqu'un résultat classique sans grosse difficulté donne $||T|| = \sup_{||x|| \leq 1, ||y|| \leq 1} \langle Tx, y \rangle$.

(Edit. Désolé je donne la solution ne sachant pas vraiment où donner un indice dans ce cas-ci)

Pour l'esprit de ton exercice on peut écrire (je suppose l'espace réel - ce qui semble cohérent puisqu'il n'y a pas de norme dans l'ensemble définissant le sup) :
$$
4 \langle Tx,x \rangle = ||Tx + x||^{2} - ||Tx-x||^{2} \geq ||Tx+x||^{2}.

$$ Et si $x$ est de norme 1 on a :
$$
||Tx+x||^{2} = ||Tx||^{2} + 2 \langle Tx,x \rangle + 1.

$$ Donnant donc : $2 \langle Tx,x \rangle \geq ||Tx||^{2} + 1 \geq ||Tx||$.
En prenant les sup on est bon si je n'ai pas fauté.