Sommes de Riemann

OShine: Je vois écrit "développements limités" dans l'énoncé de ton exercice.

On pourrait commencer par factoriser le $n^2$ sous le signe racine carrée.
On se retrouve avec un facteur $2n\pi$ dans l'argument du sinus.
On utilise $2n\pi\times A_n=2n\pi (A_n-1)+2n\pi$ (et $\sin$ est périodique de période $2\pi$)
C'est une idée qui m'est venue comme ça. Je ne sais pas si cela permet de conclure.

\begin{align}\sin (2 \pi \sqrt{n^2+1} ) \sum_{k=1}^n \ln\left(1+\frac{k}{n}\right)&=\sin \left(2n \pi \sqrt{1+\frac{1}{n^2}} \right) \sum_{k=1}^n \ln\left(1+\frac{k}{n}\right)\\
&=\sin \left(2n \pi\left( \sqrt{1+\frac{1}{n^2}}-1\right)+2n\pi \right) \sum_{k=1}^n \ln\left(1+\frac{k}{n}\right)\\
&=\sin \left(2n \pi\left( \sqrt{1+\frac{1}{n^2}}-1\right) \right) \sum_{k=1}^n \ln\left(1+\frac{k}{n}\right)\\
&=\frac{1}{n}\frac{\sin \left( \frac{2 \pi}{n\left(\sqrt{1+\frac{1}{n^2}}+1\right)}\right)}{\frac{1}{n}}\sum_{k=1}^n \ln\left(1+\frac{k}{n}\right)\\
\end{align}

Il ne reste plus qu'à montrer que $\displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty}\frac{\sin \left( \frac{2 \pi}{n\left(\sqrt{1+\frac{1}{n^2}}+1\right)}\right)}{\frac{1}{n}}=\pi$

Il n'est pas suffisant de faire le calcul que tu fais ici. Il nous manque un facteur $1/n$ pour placer devant le logarithme afin qu'on ait une somme de Riemann.

Moi je rédigerais ainsi :
$\bullet $ Posons : $\displaystyle \ln u_{n}=\sin (2\pi \sqrt{n^{2}+1})\underset{k=1}{\overset{n}{\sum }}\ln
\sqrt{1+\frac{k}{n}}=a_{n}R_{n}$, avec :
$a_{n}=\frac{n}{2}\sin (2\pi \sqrt{n^{2}+1})$ et $\displaystyle R_{n}=\frac{1}{n}\underset{k=1}{\overset{n}{\sum }}\ln (1+\frac{k}{n})$.
$\bullet $ Développement limité de $a_n$ en $o(...)$ (mon préféré) :
$a_{n}=\frac{n}{2}\sin (2\pi n\sqrt{1+\frac{1}{n^{2}}})=\frac{n}{2}\sin
(2\pi n(1+\frac{1}{2n^{2}}+o(\frac{1}{n^{2}})))$$=\frac{n}{2}\sin (\frac{\pi }{n}+o(\frac{1}{n}))=\frac{\pi }{2}+o(1)$.
$\bullet $ Somme de Riemann :
$\displaystyle R_{n}=\frac{1}{n}\underset{k=1}{\overset{n}{\sum }}\ln (1+\frac{k}{n})\rightarrow \int_{1}^{2}\ln t~dt=[t\ln t-t]_{t=1}^{t=2}=2\ln 2-1$.
$\bullet $ Conclusion :
$\ln u_{n}\rightarrow \pi (\ln 2-\frac{1}{2})$, et enfin : $u_{n}\rightarrow e^{\pi (\ln 2-\frac{1}{2})}$.
En espérant qu'il ne subsiste aucune erreur de calcul...

Aucun intérêt dans cet exo téléphoné et rébarbatif.
Au vu de ce $u_n$ tarabiscoté, personne n'a envie d'en trouver la limite, il faut vraiment y être obligé.
Bonne journée.
Fr. Ch.

OS a écrit:

Par conséquent, $\boxed{\lim\limits_{n
\rightarrow +\infty} \sin( 2 \pi \sqrt{n^2+1})
=0}$

On se demande à quoi cela sert d'écrire et d'encadrer ceci.

Os a écrit:

Fin de Partie pourquoi on ne trouve pas la même chose que Chaurien ?

Parce que tu as fais une erreur. Il faut relire tes calculs....

D'autre part tu ne comprends pas ma remarque. Ce qui compte c'est de montrer

que $\sin( 2 \pi \sqrt{n^2+1})=\dfrac{\pi}{n} + o(1/n)$ (certes cela implique que

$ \sin( 2 \pi \sqrt{n^2+1})$ tend vers 0, mais on s'en fout).

De même dire que la fonction $x \mapsto \sin( 2 \pi \sqrt{x^2+1})$ n'a pas de limite en $+\infty$ on s'en fout aussi au regard de l'exercice.

Au passage, il y a toujours

ces 2 exercices a écrit:

http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,2299712,2300646#msg-2300646

qui sont dans le même thème.

OS:
Si $\sqrt{1+x^2}$ est un entier que vaut $\sin (2 \pi \sqrt{1+x^2})$?

PS:
Après on considère l'équation en $x$, $\sqrt{1+x^2}=\dfrac{2m+1}{4}$

Oshine a écrit:

Dans l’intégrale, c’est $\ln(1+t)$, pas $\ln(t)$

Non, ce qu’à écrit Chaurien est correct. Mais comme tu ne réfléchis pas 2 secondes a pourquoi ça l’est, comme tu as l’attention et la vigilance d’une petite cuillère, tu dis encore n’importe quoi, juste parce qu’il n’a peut être pas écrit une seule étape que toi tu aurais écrit dans les calculs.

Je ne pensais pas que la question de @skazeriahm pouvait te poser un problème.

Tu dis avoir fait une figure. Donc tu as vu que ta fonction oscillait entre -1 et 1.

Alors tu résous l'équation $f(x)=1$ et $f(x)=-1$ (ou $f(x)=0$ si on veut) et puis ....

si tu ne déconnes pas trop c'est plié.