Endomorphismes s'annulant en V sev de E

Bonjour, j'ai refait un exercice que j'ai fait l'année dernière. Donc on pose E un ev de dimension n et V un sev de E. Ensuite on considère l'ensemble des endomorphismes f de E tels que V soit inclus dans ker f.
Il s'agit bien évidement d'un espace vectoriel dont on peut bien sûr trouver la dimension (qui est justement l'objectif de la question d'après).

On considère ainsi un supplémentaire de V sur E et ensuite une base adaptée à la somme directe créée.
(Pour ma part j'ai noté qu'une base de E est (e1, e2, ..., en). Et que, en notant p la dimension de V on avait ainsi une base de V qui est ( e1, ..., ep).)
Ensuite on a f(e1) =... =f(ep)=0 par l'hypothèse de départ.
Et donc on se rend compte qu'il reste simplement à choisir les valeurs des f(ei) pour trouver la dimension de notre espace vectoriel.

Seulement voilà le problème, j'ai pour cela considéré les couples ( x, f(x) ). Avec x dans le supplémentaire de V.
Je suis d'accord que pour x on a seulement n-p éléments, car on identifie en quelque sorte E\V par sa base comme pour écrire la matrice. Mais pourquoi aurait-on n choix possibles pour chaque f(x) alors qu'on peut en créer une infinité en réalité ?

Je pourrais me contenter de l'admettre et passer à autre chose mais je n'y arrive pas et je préfère vous demander votre point de vue qui va sûrement me décoincer de ce mauvais mode de pensée. Désolé à l'avance pour cette question un peu bête je pense.