Boreliens réguliers — Les-mathematiques.net The most powerful custom community solution in the world

Boreliens réguliers

Laurane BgntLaurane Bgnt
dans Analyse
Bonjour à tous,
J'ai un vrai problème sur cet exercice. Je n'arrive à rien.
Pouvez-vous m'aider s'il vous plaît ?
Merci d'avance.
Cordialement.126806
126808

Réponses

  • Georges AbitbolGeorges Abitbol
    Le 18 ?

    Pour la 1), on va démontrer que tout ouvert est régulier. Soit $U$ un ouvert. L'énoncé dit qu'il est réunion dénombrable de fermés (au passage, sais-tu pourquoi ?). Il y a donc une famille dénombrable $(F_n)_{n \in \mathbb{N}}$ de fermés telle que $U = \bigcup_n F_n$. As-tu des idées pour continuer ?
  • Laurane BgntLaurane Bgnt
    Oui le 18. J'aurais voulu prendre Fn est une suite croissante de fermées. Pour ensuite prendre le fait que nu(U Fn) = limite de n tend vers l'infini ( nu(Fn)). Mais je ne vois pas comment après je peux faire pour montrer que c'est régulier du coup.
    Merci pour votre aide.
  • PoirotPoirot
    Il s'agit de montrer les deux égalités par double inégalité. A chaque fois, l'une d'entre elles est évidente.

    Par exemple si $F$ est un fermé inclus dans $O$, alors il est clair que $\mu(F) \leq \mu(O)$ et donc par passage à la borne supérieure, $\sup \{\mu(F) \mid F \text{ fermé }, F \subset O\} \leq \mu(O)$. Avec l'indication de Georges Abitbol (que tu ferais bien de justifier) et ton idée d'utiliser la croissance, tu obtiens l'autre inégalité.

    Le point ii) est encore plus immédiat.
  • Georges AbitbolGeorges Abitbol
    Tu peux essayer de démontrer :

    Lemme : Soit $A$ une partie d'un espace topologique qui est réunion dénombrable de parties fermées. Alors $A$ est la réunion d'une suite croissante de fermés.
  • Laurane BgntLaurane Bgnt
    J'ai compris comment Poirot tu as fait dans l'exemple. Tu veux dire le point ii) qui est le plus immédiat non ?
    Pour l'autre inégalité, j'ai utilisé le fait que U= réunion des Fn, où Fn est une suite croissante. Donc nu(U)=nu(U Fn). De plus comme (Fn) suite croissante de fermés alors nu(U)= limite de n tend vers l'infini des nu(Fn). Mais après je ne sais pas comment faire pour montrer l'inégalité. Je suis coincée, pouvez-vous me donner une indication s'il vous plaît ?
  • PoirotPoirot
    Il s'agit de comprendre pourquoi $\lim_{n \to +\infty} \mu(F_n) \leq \sup \{\mu(F) \mid F \subset O, F \text{ fermé}\}$, c'est un principe général d'analyse réelle.
  • Laurane BgntLaurane Bgnt
    D'accord dans ces cas-là je comprends mieux. Pour le ii), j'ai pris un ouvert A inclus dans O. Donc si je fais comme vous avez fait dans l'exemple mais avec la borne inférieur cela fonctionne ? Si je fais comme vous avez fait j'obtiens nu(O)<=inf(nu(A))).
    Pour l'autre inégalité je prends O= U An où (An) est une suite croissante d'ouverts ? Et j'utilise la notion de limite ?
  • PoirotPoirot
    Non c'est encore plus simple, il suffit d'utiliser le fait que $O$ est ouvert !
  • Laurane BgntLaurane Bgnt
    O est un ouvert donc forcément qu'on a l'égalité. Mais comment le justifier ?
  • gerard0gerard0
    Que peux-tu dire de la mesure des ouverts qui contiennent O ?

    Cordialement.
  • Laurane BgntLaurane Bgnt
    Cela signifie que si on prend O un ouvert et A une famille d'ouverts, O inclus dans A.
    Donc nu(O)<= nu(A) ?
    est-ce cela ? Désolée mais j'ai vraiment du mal sur cet exercice.
  • PoirotPoirot
    Pour tout ouvert $A$ contenant $O$, on a $\mu(O) \leq \mu(A)$, donc en passant à la borne inférieure, $\mu(O) \leq \inf \{\mu(A) \mid A \text{ ouvert}, O \subset A\}$. Comme $O$ est un ouvert contenant $O$, il fait partie de l'ensemble $\{\mu(A) \mid A \text{ ouvert}, O \subset A\}$ et donc $\inf \{A \text{ ouvert}, O \subset A\} \leq \mu(O)$ par définition de la borne inférieure.
  • gerard0gerard0
    Heu ... Laurane Bgnt, tu n'as pas la propriété dans ton cours ? Elle est pourtant d'une évidence criante pour une mesure positive.

    Cordialement.
  • Laurane BgntLaurane Bgnt
    D'accord merci Poirot. Je vais me concentrer sur la suite de l'exercice maintenant.
    Gérard0 de quelle propriété parles-tu ? Dans notre cours on a défini la notion de mesure mais nous n'avons pas fait de lien entre mesure et borne inf et sup.
    Cordialement.
  • gerard0gerard0
    Les bornes sup et inf sont des questions d'inégalités, et tu as dans ton cours une propriété d'inégalité des mesures pour deux ensembles mesurables dont l'un est contenu dans l'autre. Si tu ne l'as pas, car c'est tellement évident qu'on peut ne pas la noter, tu as une démonstration élémentaire.
    Pour la borne inférieure, la définition suffit.

    Cordialement.
  • Laurane BgntLaurane Bgnt
    D'accord merci.
    Pour la 2)b) vous me conseillez quoi ? une récurrence ?
  • PoirotPoirot
    Non, tu peux raisonner directement pour chaque $n$ séparément.
  • gerard0gerard0
    Là encore, la définition de l'inf donne immédiatement la preuve.
  • Laurane BgntLaurane Bgnt
    Je dois utiliser le fait que (An) vérifie ii) ? Donc cela signifie que si (An) vérifie ii) donc on peut trouver un ouvert On tel que An soit inclus dans On (d'après def ii). Donc là je viens de montrer qu'il existe un ouvert On tel que An inclus dans On. Maintenant pour montrer l'inégalité comment je peux faire ? Je ne comprends pas d'où vient epsilon/2^n. Là je peux faire une récurrence ?
  • PoirotPoirot
    Tu n'as pas besoin de faire une récurrence, tu as juste à comprendre la définition de la borne inférieure dans ii).
  • Laurane BgntLaurane Bgnt
    Comme nu(An) = inf (nu(On))
    nu(An) est le minorant de nu(On).
    Donc on a : nu(An)<=nu(On)
    Or pour tout epsilon/2n positif, nu(An)+ epsilon/ 2n n'est pas un minorant (d'après def borne inf).
    Donc nu(On) < nu(An) + epsilon/2^n
    On obtient : nu(On) - nu(An) < nu(On\An)< epsilon/2^n
    Est-ce cela ?
  • gerard0gerard0
    Il y a un problème dans ce que tu écris : tu ne dis pas qui est On. D'ailleurs dire "nu(An) est le minorant de nu(On)" n'a pas de sens.
    1) Tu ne quantifies pas.
    2) Tu ne sembles pas connaître vraiment la définition de la borne inf.

    Cordialement.
  • PoirotPoirot
    C'est très mal rédigé et du coup ça n'a pas vraiment de sens, qui est $O_n$ ? "Le" minorant n'a pas de sens non plus.

    Tu devrais vraiment relire la définition de la borne inférieure d'un ensemble de nombres réels, il n'y a plus qu'à l'appliquer sans réfléchir pour obtenir la réponse, mais ça nécessite d'écrire précisément les choses.
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Success message!