Limite de la somme des $f(k/n^2)$

Salut à tous
Je cherche à calculer $\lim\limits_{n \to \infty} \displaystyle\sum_{k=1}^n f\Big(\frac{k}{n^2}\Big)$ sachant que $f$ est dérivable en $[0, + \infty[$ avec $f(0) = 0$.

J'ai pensé à une somme de Riemann en utilisant la subdivision : $\sigma := (a = x_0 = 0, x_1,\ldots, x_n = b = \frac{1}{n})$ puisque $\forall k, \frac{k}{n^2} \in [\frac{1}{n^2}, \frac{1}{n}]$ ce qui donnerait :
\[
\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n f\Big(\frac{k}{n^2}\Big) = \lim_{n \to \infty} \frac{b-a}{n} \sum_{k=1}^n f\Big(a + k \frac{b-a}{n}\Big) = \int_{t = 0}^{\frac{1}{n}} f(t)dt.

\] Mais un doute m'assaille (variable qu'on fait tendre vers $\infty$ en borne de l'intégrale ?), et je ne suis pas sûr d'avoir utilisé toutes les données de l'énoncé. Peut-être faut-il passer par un autre théorème ?