Dérivées partielles

Bonjour,

Je vais probablement poser une question qui va sembler bête mais tant pis, mes cours de maths sont un peu loin et ça me turlupine, si quelqu'un pouvait me rafraîchir les idées.
Dans le cadre de mon travail j'ai été amené à coder une optimisation sur une fonction de plusieurs variables sur un maillage 3D, chaque sommet $i$ a une matrice 4x4 associée $T_i$. Un des termes de l'optimisation est une énergie associée à chaque arrête du maillage si on a une arrête entre les sommet $i$ et $j$ on va prendre comme énergie $\lVert T_i - T_j \rVert$ en norme de Frobenius. La où je suis perturbé c'est que la dérivée dépend du sens dans lequel je prend l'arrête alors que la fonction d'énergie est indépendante de ça.
Si je simplifie à deux variables et qu'on pose $f(x,y) = (x-y)^2$ et $g(x,y) = (y-x)^2$ on a pour tout $(x,y)\in\mathbf{R}$ $f(x,y)=g(x,y)$ et pourtant $\frac{\partial f}{\partial x} = -\frac{\partial g}{\partial x}$

Tout ça me paraît très logique mais je rate la vision intuitive est-ce que c'est juste qu'il faut considérer $f$ et $g$ comme deux fonctions différentes même si elles ont la même image et ça suffit à expliquer qu'elles peuvent avoir des dérivées différentes ou est-ce qu'il y a quelque chose de plus profond ?