Loi Bêta : transformation d'une loi Gamma

maxwell
maxwell
dans Statistiques
Bonjour à tous
Je suis dans une situation où je dispose de deux variables aléatoires indépendantes X et Y suivant des lois Gamma G(a,1) et G(b,1) respectivement, Il est connu que le quotient Z2 = X/Y suit une loi Bêta de deuxième espèce B2(a,b), et comme la transformation X/(1+X) fait passer la variable Z2 = X/Y (de loi B2(a,b)) à la variable Z1 = X/(X+Y) (de loi B1(a,b)).

Comme X+Y suit une loi Gamma G(a+b,1), on peut donc affirmer que le quotient d'une Gamma G(a,1) sur une loi Gamma G(a+b,1) suit une loi Bêta de première espèce B1(a,b)... jusque là tout va bien...

Mon but ultime est de montrer SI la réciproque est vraie. C'est-à-dire SI le produit : G(a+b,1) x B1(a,b) suit une loi Gamma G(a,1) ou pas (ce qui n'est peut être même pas vrai). Je pense par ailleurs que la réciproque peut aussi se mettre sous cette forme.
Une variable aléatoire T suivant une loi Bêta de première espèce B1(a,b) est-elle le quotient d'une loi G(a,1) et d'une loi G(a+b,1) ?

Comme je n'ai trouvé aucune démo nulle part, j'ai décidé de le montrer avec mes propres calculs en partant de la définition de la densité d'un produit XY à partir de la densité de X et de la densité de Y. Seulement mes calculs n'aboutissent pas, c'est pour cela que je commence à douter sur la véracité de la réciproque.

Peut-être que c'est tout bête et que c'est moi qui n'arrive pas à voir le bout du tunnel, en tout cas, vous pouvez m'épargner encore bien des calculs, si vous avez un contre-exemple en tête, ou si vous savez que la proposition est vraie et que la démo existe en ligne ou même juste me conseiller de quelle façon commencer les calculs (car peut-être que partir de la densité du produit n'est pas une si bonne idée). Merci d'avance.

Réponses

  • P.
    P.
    ''on peut donc affirmer que le quotient d'une Gamma G(a,1) sur une loi Gamma G(a+b,1) suit une loi Bêta de première espèce B1(a,b)...'' Phrase qui est très ambiguë.

    Pour montrer que si $X\sim \mathcal{G}(a+b)$ et $Y\sim\mathcal{ B}_1(a,b)$ sont indépendantes alors $XY\sim \mathcal{G}(a)$ le plus expéditif est d'ecrire $$\mathbb{E}((XY)^s)=\mathbb{E}(X^s)\mathbb{E}(Y^s)=\frac{\Gamma(s+a+b)}{\Gamma(a+b)}\frac{B(a+s,b)}{B(a,b)}=\frac{\Gamma(s+a)}{\Gamma(a)}.$$ Si tu n'aimes pas les transformées de Laplace ou Mellin, remplace $s$ par $it$ et prends les log : tu auras une démonstration par fonctions caractéristiques. Enfin, pour faire ça par examen de la densité, il te faut calculer la loi jointe de $U=XY$ et $V=X(1-Y)$, ou $X=U+V$ et $Y=\frac{U}{U+V}$ et ne pas te tromper dans le jacobien.


    Reste ta methode qui consiste a calculer le produit de convolution multiplicative de deux densites sur $(0,\infty).$ Si $ X$ et $Y$ sont independantes de densites respectives $\frac{f(x)}{x}$ et $\frac{g(y)}{y}$ la convolution (multiplicative) est

    $$f*g(z)=\int_0^{\infty}f\left(\frac{z}{y}\right)g(y)\frac{dy}{y}\ \ \ \ (a)$$ et alors la densite de $Z=XY$ est $\frac{f*g(z)}{z}.$ Dans le cas qui t'interesse, le calcul de (a) est penible tant qu'on n'a pas trouve le bon changement de variable $u=u(y)$, qui est

    $$y=\frac{z}{u+z}.$$
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