Ensemble de définition fonction rationnelle

Le domaine de définition de $h$ est $\mathbb{R}^{*}$. La fonction $h$ définie sur $\mathbb{R}^{*}$ se prolonge en une fonction $\widetilde{h}$ définie sur $\mathbb{R}$ par $\widetilde{h}(x)=x$.

D'où la morale de l'histoire : l'ensemble de définition d'une fonction compte autant que son expression pour la définir.
Si on posait donc f(x)=x et g(x)=1/1/x sur les réels nuls les fonctions seraient égales. Si on définit la première sur R et l'autre sur R\{0} elles ne le sont plus.
De même si on définit la fonction f(x) = exp(x) + 7 sur R et g(x) = exp(x) + 7 sur [0,4], nos deux fonctions ne sont pas égales.

Pour la petite note c'est là la différence entre fonction et application (d'après mon prof de sup).
Une fonction peut être définie sur l'ensemble qu'on veut, une application seulement aux endroits où l'expression a un sens. Evidemment on s'empresse de réduire le domaine au domaine de définition dès le début donc on se moque un peu de la distinction.
Mais dans l'absolu on peut parler de la fonction logarithme définie sur R.