Même remarque pour la topologie produit. Par exemple pour qu une application à valeur dans un produit soit continue, il faut et il suffit que les application coordonnées le soient. Ça permet de prouver ton équivalence.
Et j ajouté que les projections sur les coordonnées sont continues (et ouvertes)
Je ne vois pas trop comment ça peut prouver l'équivalence si facilement que ça. J'explique :
Je note $i : x \longmapsto x^{-1}$ l'inversion et $c : (x,y) \longmapsto xy$ la composition.
Je note $s : (x,y) \longmapsto xy^{-1}$. Alors $\boxed{s(x,y) = c(x,i(y))}$. Mais pourquoi ce truc-là serait continu ? Elle n'est pas à valeurs dans un produit, elle est à variables dans un produit. Comment je fais ?
L'identité est toujours continue, donc $(x,y) \longmapsto x$ est continue (car application coordonnée).
De même, $(x,y) \longmapsto y$ est continue, et en composant par $i$, $(x,y) \longmapsto y^{-1}$ est continue.
Donc $(x,y) \longmapsto (x,i(y))$ est continue car toutes ses applications coordonnées sont continues. En composant par $c$, $s$ est continue.
Au passage : l'application de raoul.S $(x,y) \longmapsto x^{-1}y$ est donc $(x,y) \longmapsto c(i(x),y)$ et ça marche exactement pareil.
Maintenant, je dois montrer que $i$ et $c$ sont continues dès que $s$ l'est.
Je peux écrire par exemple que $i = \big[y \longmapsto s(e,y) \big]$. Pourquoi ça serait continu dès que $s$ est continu ? On ne peut pas utiliser l'argument des applications coordonnées ici.
Le truc des applications coordonnées, je sais que je l'ai dans mon bouquin. Celui-là, je suis sûr que non. Il serait très utile, cependant. Mais il faut que je le démontre avant de l'utiliser.
EDIT : tu as utilisé deux ensembles mais on peut poser la question de manière plus générale. Si $(X_i)_i$ est une famille d'espaces topologiques, est-ce que $X_i \longrightarrow \displaystyle \prod_i X_i$, $x_i \longmapsto (x_i)_i$, est continue pour tout $i$ ? J'ai noté à l'arrache, tout le monde comprend de quelle application je parle.
Cette application n'est pas définie. Si tu te donne $x_1$, comment définis-tu $(x_i)_{i\in \{1,2,3\}}$ ?
Ce qui est bien défini, en revanche, ce sont les projections $\prod_{j\in I}X_j\to X_i$, $(x_j)_{j\in I}\mapsto x_i$. Elles sont continues par définition de la topologie produit, qui est la plus... avec cette propriété.
Je suis allé trop vite, mais les applications auxquelles je voulais faire référence devraient être évidentes si tu as lu le message de Maxtimax et le mien.
Pour tout $i$, pour tout $j \neq i$, pour tout $x_j \in X_j$, j'ai une application $X_i \longrightarrow \displaystyle \prod_i X_i$, $x \longmapsto (x_i)_i$ où $x_i = x_j$ pour tout $j \neq i$ et $x_i=x$.
De plus, je ne vois pas comment tu veux que je démontre la continuité de l'application de Maxtimax avec ça.
Homo Topi il n'y a pas de problème pour démontrer que ton application est continue en utilisant la définition de la topologie produit. Il suffit de vérifier que l'image réciproque d'un ouvert élémentaire est un ouvert.
Ou bien il suffit de démontrer que les deux applications coordonnées (à savoir $id_X : X\to X$ et "constante $y$" : $X\to Y$) sont continues, ce qui est évident pour la première, et un exercice facile pour la seconde.
Résumé : vu que $\phi$ est continue et que $\{e\}$ est supposé fermé, $\phi^{-1}(\{e\})$ est un fermé de $G \times G$. Or $\phi^{-1}(\{e\})$ est la diagonale de $G \times G$, donc $G$ est séparé.
Maintenant, l'autre sens... si $G$ est séparé, la diagonale de $G \times G$ est fermée. Si je connaissais une application continue de $G$ dans $G \times G$ qui envoie $\{e\}$ sur la diagonale, ça m'arrangerait bien, mais je ne pense pas qu'il soit possible de construire un truc pareil.
Eh bien peut-être que mes TD de topologie étaient fort incomplets, je ne sais pas. En tout cas ça ne me dit rien. Le résultat pourrait être intuitif, mais en topologie générale il faut se méfier de ça, alors je préfère ne pas faire trop d'hypothèses.
Je vais essayer de le faire maintenant, mieux vaut tard que jamais.
Si $X$ est séparé, alors pour tout $y \neq x$, il existe un ouvert $V_y$ contenant $y$ et ne contenant pas $x$.
Dans ce cas, $\displaystyle \bigcup_{y \neq x}V_y = X \setminus \{x\}$ et c'est une réunion d'ouverts, donc c'est un ouvert.
EDIT : petit ajout pour mon cerveau. Alors : Si $X$ est séparé, tous les singletons sont fermés, mais si tous les singletons sont fermés, ça ne veut rien dire a priori. Cependant, si tous les singletons sont ouverts, alors $X$ est trivialement séparé.
Il y a différents "niveaux de séparation" pour un espace topologique. Le fait que tous les singletons soient fermés en est une forme faible appelée $T_1$. La séparation au sens usuel s'appelle $T_2$. Plus faible que $T_1$ il y a $T_0$ : étant donné deux points distincts, on peut trouver un voisinage de l'un ne contenant pas l'autre.
Je sais qu'il y en a plein, j'en ai déjà utilisé plusieurs. Ce n'est pas trop ça qui me pose problème, ce qui me pose problème c'est d'avoir des connaissances lacunaires sur les notions les plus courantes (typiquement, $T_2$).
Je n'ai pas compris comment GG démontre quelque chose sans AC dans ce message. Le fait que moi j'ai utilisé AC, d'accord, mais quelle est sa démonstration qui ne l'utilise pas ?
Autrement dit, là où tu utilisais une fonction de choix sans justifier son existence autrement que par (implicitement) l'axiome du choix, on est dans une situation on peut expliciter une fonction de choix sur $\{U \text{ ouvert contenant } y\}$.
Oui Poirot, ça j'avais compris, c'est juste la formulation du message de GG auquel on a fait référence qui me posait problème, je ne comprenais pas trop s'il montrait quelque chose sans AC, avec AC, s'il ne montrait rien mais faisait juste une remarque... le message était rédigé de façon tordue pour mon cerveau. Mais le reste c'est bon.
@Poirot, petite question (concernant l'utilisation implicite de AC) :
Pour tout $y\in X\setminus\left\{ x\right\} $, notons $\tau_{y}=\left\{ U\text{ ouvert } \mid y\in U\text{ et } x\notin U\right\} $.
Alors $X\setminus\left\{ x\right\} =\bigcup_{y\in X\setminus\{ x\} }\big(\bigcup_{U\in\tau_{y}}U\big)$.
Mais peut-on montrer vraiment cette égalité sans passer par le fait que pour tout $y\in X\setminus\left\{ x\right\} $, $\ \tau_{y}\neq\emptyset$, i.e. $\forall y\in X\setminus\{ x\} ,\ \exists U\text{ ouvert },\ y\in U\text{ et } x\notin U$ ?
Prochaine étape : montrer que la surjection canonique $\pi : G \longrightarrow G/H$ est toujours ouverte (quel que soit $H$).
Je réfléchis encore à la moindre piste, parce que je ne vois pas encore ce qui pourrait m'aider. Si je me donne un ouvert $U$, a priori je n'ai aucune idée de comment il se "répartit" entre les classes d'équivalence. Je peux tout de même considérer que $U$ est la réunion des $U_g := U \cap gH$ pour tout $g$, éventuellement me restreindre à un système de représentants, mais à part que l'image de $U_g$ est alors dans la classe $\overline{g}$, ça ne me dit rien de topologique a priori. Surtout si $H$ est quelconque.
J'ai du mal à voir comment les translations de $G$ vont m'aider cette fois :-D
Il faut montrer que $\pi(U)$ est ouvert, ce qui équivalent à dire que $\pi^{-1}(\pi(U))$ est ouvert dans $G$. Or $\pi^{-1}(\pi(U))$ s'exprime assez simplement en fonction de $H$ et à partir de là on voit tout de suite qu'il est ouvert.
$\pi(U) = \{\overline{x} \mid x \in U\}$ donc $\pi^{-1}(\pi(U)) = \displaystyle \bigcup_{x \in U} xH$. Si $H$ est quelconque, je ne comprends pas à quoi ce que j'ai écrit est censé servir, et je ne vois pas trop quoi écrire d'autre.
C'est par définition de la topologie quotient : si $X$ est un espace topologique et $R$ une relation d'équivalence alors par définition : $O\subset X/R$ est ouvert ssi $\pi^{-1}(O)$ est ouvert dans $X$.
Pour moi, la topologie quotient est la topologie "la plus fine" (c'est une notion que je trouve difficile) qui rend la surjection canonique continue.
Donc si $X$ est un espace topologique et $\mathcal{R}$ est une relation d'équivalence sur $X$, si je munis le quotient $X /\mathcal{R}$ de la topologie quotient, alors je sais déjà au minimum que la projection $\pi : X \longrightarrow X/\mathcal{R}$ est continue. Donc : si $\overline{U}$ est ouvert dans $X/\mathcal{R}$, alors $U$ est ouvert dans $X$.
Pour la réciproque, pour moi c'est une autre histoire.
J'appelle $\mathscr{Q}$ la topologie quotient sur $X/\mathcal{R}$. dire que c'est "la plus fine" qui rend $\pi$ continue, ça veut dire que pour toute topologie $\mathscr{T}$ sur $X/\mathcal{R}$ pour laquelle $\pi$ est continue, l'application $\text{id} : (X/\mathcal{R},\mathscr{Q}) \longrightarrow (X/\mathcal{R},\mathscr{T})$ est continue (donc $\mathscr{Q}$ a plus d'ouverts que $\mathscr{T}$).
Donc : si $\overline{U}$ est ouvert dans $X/\mathcal{R}$, alors $U$ est ouvert dans $X$.
Non, il y a des contre-exemples. Par exemple si la relation $R$ est celle qui rend tous les éléments équivalents alors $X/R$ est un singleton et $\overline{U}$ est toujours ouvert mais $U$ pas forcément.
Si tu définis les ouverts de $X/R$ comme ça : $O\subset X/R$ est ouvert ssi $\pi^{-1}(O)$ est ouvert dans $X$, alors tu as forcément la topologie la plus fine rendant $\pi$ continue. Tu peux vérifier c'est facile.
Je ne comprends pas. Tu me dis que si un truc est ouvert dans le quotient, sa préimage par $\pi$ n'est pas forcément un ouvert, mais $\pi$ est censée être continue. Et après tu me dis que si. Hein ?
EDIT : j'ai instinctivement noté $\overline{U}$ comme l'image de $U$ par $\pi$, peut-être y a-t-il quiproquo de notations.
Mhm. Raison de plus pourquoi dans mes documents, je ne note jamais les préimages avec des $^{-1}$. Mais le reste du monde le fait, alors je m'adapte et ça me fait faire des erreurs.
Soit donc $X$ un espace topologique et $\mathcal{R}$ une RE sur $X$, soit $\pi$ la surjection canonique.
Je définis sur $X/\mathcal{R}$ une topologie $\mathscr{Q}$ en posant : $U \subseteq X/\mathcal{R}$ est ouvert $\Longleftrightarrow$ $\pi^{-1}(U) \subseteq X$ est ouvert.
$\pi : X \longrightarrow (X/\mathcal{R}, \mathscr{Q})$ est continue parce que $\Longleftarrow$.
$\mathscr{Q}$ est la topologie la plus fine rendant $\pi$ continue $\Longleftrightarrow$ pour toute topologie $\mathscr{T}$ rendant $\pi$ continue, $\text{id} : (X/\mathcal{R}, \mathscr{Q}) \longrightarrow (X/\mathcal{R}, \mathscr{T})$ est continue.
Soit donc $\mathscr{T}$ une autre topologie sur $X/\mathcal{R}$ telle que $\pi : X \longrightarrow (X/\mathcal{R}, \mathscr{T})$ est continue.
Soit $V$ un $\mathscr{T}$-ouvert. Comme $\pi$ est $\mathscr{T}$-continue, $\pi^{-1}(V)$ est un ouvert de $X$. Donc par définition de $\mathscr{Q}$, $V = \text{id}^{-1}(V)$ est un $\mathscr{Q}$-ouvert.
Je voulais donc montrer que $\pi : G \longrightarrow G/H$ est ouverte.
Soit $U \subseteq G$ un ouvert. Il faut montrer que $\pi(U)$ est ouvert dans $G/H$, ou, ce qui est équivalent (topologie quotient),
que $\pi^{-1}(\pi(U))$ est ouvert dans $G$.
Je ne sais pas ce que j'ai aujourd'hui, mais je galère à re-justifier une écriture utile de $\pi^{-1}(\pi(U))$.
Math Coss avait dit que $\pi^{-1}(\pi(U)) = UH$ mais je ne sais pas si je suis d'accord :-S
$\pi(U) = \{\pi(u) \mid u \in U\} = \{ uH \mid u \in U\}$.
Donc $\pi^{-1}(\pi(U)) = \{x \in G \mid \pi(x) \in \pi(U)\} = \{x \in G \mid \exists u \in U : xH = uH\}$.
J'aimerais faire apparaitre $UH$ "naturellement", sans devoir m'embêter avec une double inclusion.
$\{x \in G \mid \exists u \in U : xH = uH\} = \{x \in G \mid xH \in UH\}$
A mon sens, c'esy plutôt $\pi(U)$ qui est égal à $UH$... :-S
Réponses
Et j ajouté que les projections sur les coordonnées sont continues (et ouvertes)
Je note $i : x \longmapsto x^{-1}$ l'inversion et $c : (x,y) \longmapsto xy$ la composition.
Je note $s : (x,y) \longmapsto xy^{-1}$. Alors $\boxed{s(x,y) = c(x,i(y))}$. Mais pourquoi ce truc-là serait continu ? Elle n'est pas à valeurs dans un produit, elle est à variables dans un produit. Comment je fais ?
De même, $(x,y) \longmapsto y$ est continue, et en composant par $i$, $(x,y) \longmapsto y^{-1}$ est continue.
Donc $(x,y) \longmapsto (x,i(y))$ est continue car toutes ses applications coordonnées sont continues. En composant par $c$, $s$ est continue.
Au passage : l'application de raoul.S $(x,y) \longmapsto x^{-1}y$ est donc $(x,y) \longmapsto c(i(x),y)$ et ça marche exactement pareil.
Maintenant, je dois montrer que $i$ et $c$ sont continues dès que $s$ l'est.
Je peux écrire par exemple que $i = \big[y \longmapsto s(e,y) \big]$. Pourquoi ça serait continu dès que $s$ est continu ? On ne peut pas utiliser l'argument des applications coordonnées ici.
Appliquer ça à $X=Y=G$ et $y = e$
Le truc des applications coordonnées, je sais que je l'ai dans mon bouquin. Celui-là, je suis sûr que non. Il serait très utile, cependant. Mais il faut que je le démontre avant de l'utiliser.
EDIT : tu as utilisé deux ensembles mais on peut poser la question de manière plus générale. Si $(X_i)_i$ est une famille d'espaces topologiques, est-ce que $X_i \longrightarrow \displaystyle \prod_i X_i$, $x_i \longmapsto (x_i)_i$, est continue pour tout $i$ ? J'ai noté à l'arrache, tout le monde comprend de quelle application je parle.
Ce qui est bien défini, en revanche, ce sont les projections $\prod_{j\in I}X_j\to X_i$, $(x_j)_{j\in I}\mapsto x_i$. Elles sont continues par définition de la topologie produit, qui est la plus... avec cette propriété.
Pour tout $i$, pour tout $j \neq i$, pour tout $x_j \in X_j$, j'ai une application $X_i \longrightarrow \displaystyle \prod_i X_i$, $x \longmapsto (x_i)_i$ où $x_i = x_j$ pour tout $j \neq i$ et $x_i=x$.
De plus, je ne vois pas comment tu veux que je démontre la continuité de l'application de Maxtimax avec ça.
Et pour $c$ : $c(x,y)=s(x,i(y))$ donc ça marche exactement comme précédemment.
Maintenant, l'autre sens... si $G$ est séparé, la diagonale de $G \times G$ est fermée. Si je connaissais une application continue de $G$ dans $G \times G$ qui envoie $\{e\}$ sur la diagonale, ça m'arrangerait bien, mais je ne pense pas qu'il soit possible de construire un truc pareil.
Donc je réfléchis.
Je vais essayer de le faire maintenant, mieux vaut tard que jamais.
Dans ce cas, $\displaystyle \bigcup_{y \neq x}V_y = X \setminus \{x\}$ et c'est une réunion d'ouverts, donc c'est un ouvert.
EDIT : petit ajout pour mon cerveau. Alors : Si $X$ est séparé, tous les singletons sont fermés, mais si tous les singletons sont fermés, ça ne veut rien dire a priori. Cependant, si tous les singletons sont ouverts, alors $X$ est trivialement séparé.
Maintenant, je pense pouvoir reprendre à ce message.
Pour tout $y\in X\setminus\left\{ x\right\} $, notons $\tau_{y}=\left\{ U\text{ ouvert } \mid y\in U\text{ et } x\notin U\right\} $.
Alors $X\setminus\left\{ x\right\} =\bigcup_{y\in X\setminus\{ x\} }\big(\bigcup_{U\in\tau_{y}}U\big)$.
Mais peut-on montrer vraiment cette égalité sans passer par le fait que pour tout $y\in X\setminus\left\{ x\right\} $, $\ \tau_{y}\neq\emptyset$, i.e. $\forall y\in X\setminus\{ x\} ,\ \exists U\text{ ouvert },\ y\in U\text{ et } x\notin U$ ?
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Prochaine étape : montrer que la surjection canonique $\pi : G \longrightarrow G/H$ est toujours ouverte (quel que soit $H$).
Je réfléchis encore à la moindre piste, parce que je ne vois pas encore ce qui pourrait m'aider. Si je me donne un ouvert $U$, a priori je n'ai aucune idée de comment il se "répartit" entre les classes d'équivalence. Je peux tout de même considérer que $U$ est la réunion des $U_g := U \cap gH$ pour tout $g$, éventuellement me restreindre à un système de représentants, mais à part que l'image de $U_g$ est alors dans la classe $\overline{g}$, ça ne me dit rien de topologique a priori. Surtout si $H$ est quelconque.
J'ai du mal à voir comment les translations de $G$ vont m'aider cette fois :-D
Il faut montrer que $\pi(U)$ est ouvert, ce qui équivalent à dire que $\pi^{-1}(\pi(U))$ est ouvert dans $G$. Or $\pi^{-1}(\pi(U))$ s'exprime assez simplement en fonction de $H$ et à partir de là on voit tout de suite qu'il est ouvert.
$\pi(U) = \{\overline{x} \mid x \in U\}$ donc $\pi^{-1}(\pi(U)) = \displaystyle \bigcup_{x \in U} xH$. Si $H$ est quelconque, je ne comprends pas à quoi ce que j'ai écrit est censé servir, et je ne vois pas trop quoi écrire d'autre.
$\pi$ n'est pas un homéomorphisme, donc pourquoi $\pi(U)$ ouvert dans $G/H$ serait équivalent à $\pi^{-1}(\pi(U))$ ouvert dans $G$ ???
Pour moi, la topologie quotient est la topologie "la plus fine" (c'est une notion que je trouve difficile) qui rend la surjection canonique continue.
Donc si $X$ est un espace topologique et $\mathcal{R}$ est une relation d'équivalence sur $X$, si je munis le quotient $X /\mathcal{R}$ de la topologie quotient, alors je sais déjà au minimum que la projection $\pi : X \longrightarrow X/\mathcal{R}$ est continue. Donc : si $\overline{U}$ est ouvert dans $X/\mathcal{R}$, alors $U$ est ouvert dans $X$.
Pour la réciproque, pour moi c'est une autre histoire.
J'appelle $\mathscr{Q}$ la topologie quotient sur $X/\mathcal{R}$. dire que c'est "la plus fine" qui rend $\pi$ continue, ça veut dire que pour toute topologie $\mathscr{T}$ sur $X/\mathcal{R}$ pour laquelle $\pi$ est continue, l'application $\text{id} : (X/\mathcal{R},\mathscr{Q}) \longrightarrow (X/\mathcal{R},\mathscr{T})$ est continue (donc $\mathscr{Q}$ a plus d'ouverts que $\mathscr{T}$).
Je ne vois pas encore d'où sort la réciproque.
Non, il y a des contre-exemples. Par exemple si la relation $R$ est celle qui rend tous les éléments équivalents alors $X/R$ est un singleton et $\overline{U}$ est toujours ouvert mais $U$ pas forcément.
Si tu définis les ouverts de $X/R$ comme ça : $O\subset X/R$ est ouvert ssi $\pi^{-1}(O)$ est ouvert dans $X$, alors tu as forcément la topologie la plus fine rendant $\pi$ continue. Tu peux vérifier c'est facile.
EDIT : j'ai instinctivement noté $\overline{U}$ comme l'image de $U$ par $\pi$, peut-être y a-t-il quiproquo de notations.
Je pense que le problème vient du fait que tu penses que $U$ est la préimage par $\pi$ de $\overline{U}$.
Si c'est ça alors $U$ n'est pas forcément la préimage par $\pi$ de $\overline{U}$ il est juste contenu dedans : $U\subset \pi^{-1}(\pi(U))$.
Soit donc $X$ un espace topologique et $\mathcal{R}$ une RE sur $X$, soit $\pi$ la surjection canonique.
Je définis sur $X/\mathcal{R}$ une topologie $\mathscr{Q}$ en posant : $U \subseteq X/\mathcal{R}$ est ouvert $\Longleftrightarrow$ $\pi^{-1}(U) \subseteq X$ est ouvert.
$\pi : X \longrightarrow (X/\mathcal{R}, \mathscr{Q})$ est continue parce que $\Longleftarrow$.
$\mathscr{Q}$ est la topologie la plus fine rendant $\pi$ continue $\Longleftrightarrow$ pour toute topologie $\mathscr{T}$ rendant $\pi$ continue, $\text{id} : (X/\mathcal{R}, \mathscr{Q}) \longrightarrow (X/\mathcal{R}, \mathscr{T})$ est continue.
Soit donc $\mathscr{T}$ une autre topologie sur $X/\mathcal{R}$ telle que $\pi : X \longrightarrow (X/\mathcal{R}, \mathscr{T})$ est continue.
Soit $V$ un $\mathscr{T}$-ouvert. Comme $\pi$ est $\mathscr{T}$-continue, $\pi^{-1}(V)$ est un ouvert de $X$. Donc par définition de $\mathscr{Q}$, $V = \text{id}^{-1}(V)$ est un $\mathscr{Q}$-ouvert.
Donc $\text{id}$ est continue. CQFD.
Soit $U \subseteq G$ un ouvert. Il faut montrer que $\pi(U)$ est ouvert dans $G/H$, ou, ce qui est équivalent (topologie quotient),
que $\pi^{-1}(\pi(U))$ est ouvert dans $G$.
Je ne sais pas ce que j'ai aujourd'hui, mais je galère à re-justifier une écriture utile de $\pi^{-1}(\pi(U))$.
Math Coss avait dit que $\pi^{-1}(\pi(U)) = UH$ mais je ne sais pas si je suis d'accord :-S
$\pi(U) = \{\pi(u) \mid u \in U\} = \{ uH \mid u \in U\}$.
Donc $\pi^{-1}(\pi(U)) = \{x \in G \mid \pi(x) \in \pi(U)\} = \{x \in G \mid \exists u \in U : xH = uH\}$.
J'aimerais faire apparaitre $UH$ "naturellement", sans devoir m'embêter avec une double inclusion.
$\{x \in G \mid \exists u \in U : xH = uH\} = \{x \in G \mid xH \in UH\}$
A mon sens, c'esy plutôt $\pi(U)$ qui est égal à $UH$... :-S