Groupes topologiques

Je ne vois pas trop comment ça peut prouver l'équivalence si facilement que ça. J'explique :

Je note $i : x \longmapsto x^{-1}$ l'inversion et $c : (x,y) \longmapsto xy$ la composition.

Je note $s : (x,y) \longmapsto xy^{-1}$. Alors $\boxed{s(x,y) = c(x,i(y))}$. Mais pourquoi ce truc-là serait continu ? Elle n'est pas à valeurs dans un produit, elle est à variables dans un produit. Comment je fais ?

L'identité est toujours continue, donc $(x,y) \longmapsto x$ est continue (car application coordonnée).

De même, $(x,y) \longmapsto y$ est continue, et en composant par $i$, $(x,y) \longmapsto y^{-1}$ est continue.

Donc $(x,y) \longmapsto (x,i(y))$ est continue car toutes ses applications coordonnées sont continues. En composant par $c$, $s$ est continue.

Au passage : l'application de raoul.S $(x,y) \longmapsto x^{-1}y$ est donc $(x,y) \longmapsto c(i(x),y)$ et ça marche exactement pareil.

Maintenant, je dois montrer que $i$ et $c$ sont continues dès que $s$ l'est.

Je peux écrire par exemple que $i = \big[y \longmapsto s(e,y) \big]$. Pourquoi ça serait continu dès que $s$ est continu ? On ne peut pas utiliser l'argument des applications coordonnées ici.

Je ne sais pas pourquoi c'est vrai.

Le truc des applications coordonnées, je sais que je l'ai dans mon bouquin. Celui-là, je suis sûr que non. Il serait très utile, cependant. Mais il faut que je le démontre avant de l'utiliser.

EDIT : tu as utilisé deux ensembles mais on peut poser la question de manière plus générale. Si $(X_i)_i$ est une famille d'espaces topologiques, est-ce que $X_i \longrightarrow \displaystyle \prod_i X_i$, $x_i \longmapsto (x_i)_i$, est continue pour tout $i$ ? J'ai noté à l'arrache, tout le monde comprend de quelle application je parle.

Je suis allé trop vite, mais les applications auxquelles je voulais faire référence devraient être évidentes si tu as lu le message de Maxtimax et le mien.

Pour tout $i$, pour tout $j \neq i$, pour tout $x_j \in X_j$, j'ai une application $X_i \longrightarrow \displaystyle \prod_i X_i$, $x \longmapsto (x_i)_i$ où $x_i = x_j$ pour tout $j \neq i$ et $x_i=x$.

De plus, je ne vois pas comment tu veux que je démontre la continuité de l'application de Maxtimax avec ça.

D'accord, en effet.

Bon, alors $i$ est continue dès que $s$ l'est, juste avec la définition de continuité.

Et pour $c$ : $c(x,y)=s(x,i(y))$ donc ça marche exactement comme précédemment.

Si $X$ est séparé, alors pour tout $y \neq x$, il existe un ouvert $V_y$ contenant $y$ et ne contenant pas $x$.

Dans ce cas, $\displaystyle \bigcup_{y \neq x}V_y = X \setminus \{x\}$ et c'est une réunion d'ouverts, donc c'est un ouvert.


EDIT : petit ajout pour mon cerveau. Alors : Si $X$ est séparé, tous les singletons sont fermés, mais si tous les singletons sont fermés, ça ne veut rien dire a priori. Cependant, si tous les singletons sont ouverts, alors $X$ est trivialement séparé.

Je sais qu'il y en a plein, j'en ai déjà utilisé plusieurs. Ce n'est pas trop ça qui me pose problème, ce qui me pose problème c'est d'avoir des connaissances lacunaires sur les notions les plus courantes (typiquement, $T_2$).

Je n'ai pas compris comment GG démontre quelque chose sans AC dans ce message. Le fait que moi j'ai utilisé AC, d'accord, mais quelle est sa démonstration qui ne l'utilise pas ?

Avec la formulation du message de GG, je ne comprenais pas trop de quoi il parlait.

Bon... j'ai édité mon premier message dans le fil pour avoir un résumé de ce qui a été dit pour la 2)b).

Maintenant, je pense pouvoir reprendre à ce message.

Je suis un peu plus réveillé aujourd'hui.

$\pi$ n'est pas un homéomorphisme, donc pourquoi $\pi(U)$ ouvert dans $G/H$ serait équivalent à $\pi^{-1}(\pi(U))$ ouvert dans $G$ ???

D'accord.

Bon, je réessaie de démontrer ça.

Soit donc $X$ un espace topologique et $\mathcal{R}$ une RE sur $X$, soit $\pi$ la surjection canonique.

Je définis sur $X/\mathcal{R}$ une topologie $\mathscr{Q}$ en posant : $U \subseteq X/\mathcal{R}$ est ouvert $\Longleftrightarrow$ $\pi^{-1}(U) \subseteq X$ est ouvert.

$\pi : X \longrightarrow (X/\mathcal{R}, \mathscr{Q})$ est continue parce que $\Longleftarrow$.

$\mathscr{Q}$ est la topologie la plus fine rendant $\pi$ continue $\Longleftrightarrow$ pour toute topologie $\mathscr{T}$ rendant $\pi$ continue, $\text{id} : (X/\mathcal{R}, \mathscr{Q}) \longrightarrow (X/\mathcal{R}, \mathscr{T})$ est continue.

Soit donc $\mathscr{T}$ une autre topologie sur $X/\mathcal{R}$ telle que $\pi : X \longrightarrow (X/\mathcal{R}, \mathscr{T})$ est continue.

Soit $V$ un $\mathscr{T}$-ouvert. Comme $\pi$ est $\mathscr{T}$-continue, $\pi^{-1}(V)$ est un ouvert de $X$. Donc par définition de $\mathscr{Q}$, $V = \text{id}^{-1}(V)$ est un $\mathscr{Q}$-ouvert.

Donc $\text{id}$ est continue. CQFD.