Identité du parallélogramme généralisée

Bonjour
Je cherche à démontrer l'identité du parallélogramme suivante.
$$
\forall n\ge 2, \ \forall x_1, x_2, \ldots,x_n \in H,\quad 2^{-n}||\epsilon_1x_1+\cdots +\epsilon_nx_n||^2=||x_1||^2+\cdots+||x_n||^2,
$$ avec $\epsilon_i=\pm1$ et $H$ un espace de Hilbert.

Je me suis lancé dans une démonstration par récurrence.
Pour $n=2$, on retrouve l'identité du parallélogramme classique.
Pour la partie hérédité, je remarque que :
$||\epsilon_1x_1+\cdots+\epsilon_nx_n+\epsilon_{n+1}x_{n+1}||^2-||\epsilon_1x_1+\cdots+\epsilon_nx_n-\epsilon_{n+1}x_{n+1}||^2=2(||\epsilon_1x_1+\cdots+\epsilon_nx_n||^2+||x_{n+1}||^2).$

Dans le membre de droite, je peux donc utiliser mon hypothèse de récurrence pour obtenir :
$||\epsilon_1x_1+\cdots+\epsilon_nx_n+\epsilon_{n+1}x_{n+1}||^2-||\epsilon_1x_1+\cdots+\epsilon_nx_n-\epsilon_{n+1}x_{n+1}||^2=2(2^n(||x_1||^2+\cdots+||x_n||^2)+||x_{n+1}||^2).$
Et donc que :
$||\epsilon_1x_1+\cdots+\epsilon_nx_n+\epsilon_{n+1}x_{n+1}||^2=2(2^n(||x_1||^2+ \cdots +||x_n||^2)+||x_{n+1}||^2)+||\epsilon_1x_1+\cdots+\epsilon_nx_n-\epsilon_{n+1}x_{n+1}||^2.$

Bon et je vois bien que je ne peux pas conclure... Ou alors, et très certainement, il y a quelque chose que je ne vois pas.
Pourriez-vous m'indiquer des pistes de résolution ?
Merci :-)