Dérivée d'un vecteur
Bonsoir
Si $\quad u:\Omega \subset \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^n, \
u=(u_1,u_2,\ldots ,u_n).$
La derivée de$ u$ est $(\frac{\partial u_{1}}{\partial x},\frac{\partial u_{2}}{\partial x},\ldots,\frac{\partial u_{n}}{\partial x})$ ?
Si $\quad u:\Omega \subset \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^n,$
la derivée de $u$ est une matrice dont les composantes sont de la forme :
$\frac{\partial u_{i}}{\partial x_{j}}+\frac{\partial u_{j}}{\partial x_{i}}$ ou $\frac{\partial u_{i}}{\partial x_{j}}$ avec $1\leq i\leq n $ et $1\leq j\leq n$ ?
Si $\quad u:\Omega \subset \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^n, \
u=(u_1,u_2,\ldots ,u_n).$
La derivée de$ u$ est $(\frac{\partial u_{1}}{\partial x},\frac{\partial u_{2}}{\partial x},\ldots,\frac{\partial u_{n}}{\partial x})$ ?
Si $\quad u:\Omega \subset \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^n,$
la derivée de $u$ est une matrice dont les composantes sont de la forme :
$\frac{\partial u_{i}}{\partial x_{j}}+\frac{\partial u_{j}}{\partial x_{i}}$ ou $\frac{\partial u_{i}}{\partial x_{j}}$ avec $1\leq i\leq n $ et $1\leq j\leq n$ ?
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Réponses
Pour Poirot, il m'arrive d'employer le terme de Fréchet-dérivée au lieu de différentielle, mais évidemment je ne fais pas cela dans un cadre pédagogique (sauf à des étudiants plus avancés en calcul différentiel), les risques de confusion étant trop grands.
Cela dit, mon prof de calcul diff de Licence utilisait les mots "différentielle" et "dérivée" de manière interchangeable, ça m'a beaucoup embrouillé quand je cherchais des infos dans des bouquins. D'ailleurs ça embrouillait beaucoup de monde, le prof en question étant assez universellement détesté des étudiants. Il n'était pas connu pour sa pédagogie... en tout cas je comprends les néophytes qui confondent les deux termes où qui sont embrouillés par quelqu'un qui utilise les deux de manière interchangeable. Le souci étant que ça fait faire beaucoup d'erreurs et de confusions dans tout le calcul diff, je suis passé par là.
Mais je n'ai pas encore trouvé la réponse de cette partie de question.
Si $\quad u:\Omega \subset \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^n,$
la dérivée de $u$ est une matrice dont les composantes sont de la forme :
$\frac{\partial u_{i}}{\partial x_{j}}+\frac{\partial u_{j}}{\partial x_{i}}$ ou $\frac{\partial u_{i}}{\partial x_{j}}$, avec $1\leq i\leq n $ et $1\leq j\leq n$ ?
Tu cherches la notion de "matrice jacobienne".