Groupes topologiques
Je me rends compte que je n'ai que des connaissances partielles sur les groupes topologiques, et j'ai envie de changer ça. J'aimerais faire ça sous forme d'exercices, donc "disclaimer" : je ne demande pas un exposé "tout fait" sur les groupes topologiques. Je vais essayer de poser les questions dans un ordre qui me paraît logique. Parfois, je me souviens d'éléments de réponse, mais je vais faire comme si je redécouvrais depuis le début.
Je propose d'utiliser l'abréviation "GT" pour "groupe topologique" dans ce fil. Quand on en aura besoin, le GT ambiant sera noté $G$, noté multiplicativement, et son élément neutre sera noté $e$. Classique, simple.
Je précise : quand je parle de conditions nécessaires/suffisantes, il en existe parfois dans un espace topologique quelconque, je demande s'il en existe une plus intéressante/maniable dans le cas précis d'un GT.
1)a) Dans GT, un sous-groupe peut-il être ouvert ?
Oui : matrices de $\det > 0$ dans $GL_n$.
Proposition : un sous-groupe ouvert est toujours fermé.
Preuve : si $H$ est ouvert, alors $G \setminus H = \displaystyle \bigcup_{g \notin H}gH$, et les $gH$ sont ouverts comme translatés de $H$.
1)b) Si oui : existe-t-il une condition nécessaire et/ou suffisante pour qu'un sous-groupe soit ouvert ?
Proposition : Soit $H$ un sous-groupe de $G$. Les trois propositions suivantes sont équivalentes.
i) $H$ est ouvert
ii) $G/H$ est discret
iii) $H$ est d'intérieur non vide
Preuve : ) $\Longleftrightarrow$ ii) : $\{\overline{g}\}$ est ouvert dans $G/H$ si, et seulement si, $gH$ est ouvert dans $G$. Donc tout singleton de $G/H$ est ouvert, donc $G/H$ est discret. Réciproquement, si $G/H$ est discret, alors $\{e\}$ est ouvert, donc $eH=H$ est ouvert dans $G$.
i) $\Longrightarrow$ iii) est évident : si $H$ est ouvert, il est égal à son intérieur, et non vide car c'est un sous-groupe (il contient $e$).
iii) $\Longrightarrow$ i) : si $H$ est d'intérieur non vide, alors il existe $h \in H$ et un ouvert $V \subseteq H$ tel que $h \in V$. Soit donc $x \in H$. Soit $\varphi(g) = xh^{-1}g$, alors $\varphi(h)=x$, et $\varphi(V)$ est un ouvert qui contient $x$. Si $\varphi(V)$ est inclus dans $H$, alors $H$ est ouvert.
Soit $w \in \varphi(V)$. Alors il existe $v \in V$ tel que $w = \varphi(v) = xh^{-1}v$. Comme $V \subseteq H$, on a $x \in H$, $h \in H$ et $v \in H$, donc $w = xh^{-1}v \in H$ car $H$ est stable par produit. Donc $\varphi(V)$ est inclus dans $H$, donc $H$ est ouvert.
2)a) Dans GT, un sous-groupe peut-il être fermé ?
Oui : $SL_n = \det^{-1}(1)$ dans $GL_n$.
2)b) Si oui : existe-t-il une condition nécessaire et/ou suffisante pour qu'un sous-groupe soit fermé ?
Proposition : si $\{e\}$ est fermé, alors $G$ est séparé.
Remarque : si $\{e\}$ est fermé, alors tout singleton est fermé : $G \setminus \{e\}$ est ouvert, en appliquant une translation qui envoie $e$ sur $x$ on trouve que $G \setminus \{x\}$ est ouvert pour tout $x$.
Preuve : L'application $\phi : (x,y) \longmapsto x^{-1}y$ est continue (topologie produit), donc $\phi^{-1}(\{e\})$ est fermé dans $G \times G$. Or c'est la diagonale, donc $G$ est séparé.
Réciproque : soit $X$ un espace topologique. Si $X$ est séparé, alors tout singleton de $X$ est fermé.
Preuve : Soient $x \in X$. Pour tout $y \neq x$, on pose $V_y := \displaystyle \bigcup_{U \in \mathcal{V}_y}U$, où $\mathcal{V}_y$ est l'ensemble des ouverts contenant $y$ et ne contenant pas $x$. Alors $\displaystyle \bigcup_{y \neq x}V_y = X \setminus \{x\}$ est ouvert, donc $\{x\}$ est fermé.
Conclusion : un GT $G$ est séparé $\Longleftrightarrow$ $\{e\}$ est fermé.
Lemme : Si $H$ est un sous-groupe quelconque de $G$ et $\pi : G \longrightarrow G/H$ est la surjection canonique, alors $\pi$ est une application ouverte.
Preuve : Soit $U \subseteq G$ un ouvert. Il faut montrer que $\pi(U) \in G/H$ est ouvert. Par définition de la topologie quotient, c'est équivalent à montrer que $\pi^{-1}(\pi(U))$ est ouvert dans $G$.
$\pi^{-1}(\pi(U)) = \{x \in G \mid \pi(x) \in \pi(U)\} = \{x \in G \mid \exists u \in U : xH = uH\} = \{x \in G \mid \exists u \in U : x \in uH\} = \{x \in G \mid x \in UH\} = UH$.
Comme $UH = \displaystyle \bigcup_{h \in H}Uh$ et que $Uh$ est ouvert (par translation) pour tout $h$, $UH$ est ouvert comme réunion d'ouverts. Donc $\pi^{-1}(\pi(U))$ est ouvert.
Proposition : $H$ est un sous-groupe fermé (non nécessairement distingué) de $G$ si, et seulement si, l'ensemble quotient $G/H$ est séparé.
Preuve : Soient $\overline{x}$ et $\overline{y}$ dans $G/H$ tels que $\overline{x} \neq \overline{y}$. Notons $\phi : G \times G \longrightarrow G$, $(x,y) \longmapsto x^{-1}y$. Alors $\overline{x} \neq \overline{y}$ signifie $\phi(x,y) \notin H$. Donc $\phi(x,y) \in G \setminus H$, qui est ouvert car $H$ est fermé. Comme $\phi$ est continue, $\phi^{-1}(G \setminus H)$ est un ouvert de $G \times G$, notons-le $V$.
Il existe alors deux ouverts $V_x$ et $V_y$ de $G$ tels que $(x,y) \in V_x \times V_y$ et $V_x \times V_y \subseteq V$. Donc $x \in V_x$ et $y \in V_y$. Puisque $\pi : G \longrightarrow G/H$ est ouverte, $\pi(V_x) := U_x$ et $\pi(V_y):=U_y$ sont deux ouverts de $G/H$, et on a $\overline{x} \in U_x$ et $\overline{y} \in U_y$. Pour que $G/H$ soit séparé, il faut et il suffit que $U_x$ et $U_y$ soient disjoints.
Supposons qu'il existe $\overline{z} \in U_x \cap U_y$. Alors il existe $v_x \in V_y$ et $v_y \in V_y$ tels que $\overline{v_x} = \overline{v_y} = \overline{z}$. En particulier, $(v_x,v_y) \in V_x \times V_y \subseteq V$, et comme $V = \phi^{-1}(G \setminus H)$, on a $\phi(v_x,v_y) \in G \setminus H$. Mais $\overline{v_x} = \overline{v_y}$ est équivalent à $v_x^{-1}v_y \in H$, donc $\phi(v_x,,v_y) \in H$. Absurde. Donc $U_x$ et $U_y$ sont disjoints.
Réciproquement, si $G/H$ est séparé, alors $\{\overline{e}\}=\{H\}$ est fermé, donc $\pi^{-1}(\{H\}) \{x \in G \mid xH \in \{H\}\} = H$ est fermé dans $G$.
3)a) L'intérieur d'un sous-groupe peut-il être un sous-groupe ?
3)b) Si oui : existe-t-il une condition nécessaire et/ou suffisante pour ça ?
Proposition : Soit $H$ un sous-groupe de $G$. L'intérieur de $H$ est un sous-groupe de $G$ si, et seulement si, $H$ est ouvert (donc quand $Int(H)=H$).
Preuve : Si $Int(H)$ est un sous-groupe de $G$, alors c'est un voisinage ouvert de $e$. Dans ce cas, pour tout $h \in H$, $h Int(H)$ est un voisinage ouvert de $h$ inclus dans $H$, donc $H$ est ouvert. La réciproque est triviale.
4)a) L'adhérence d'un sous-groupe peut-elle être un sous-groupe ?
4)b) Si oui : existe-t-il une condition nécessaire et/ou suffisante pour ça ?
Proposition : Soit $H$ un sous-groupe de $G$. Alors $Adh(H)$ est un sous-groupe de $G$.
Preuve : $H \subseteq Adh(H)$ donc $Adh(H)$ contient $e$. Soient $x,y \in Adh(H)$. Soit $V$ un voisinage ouvert de $xy^{-1}$ dans $G$. Il faut montrer que $V$ intersecte $H$. Comme $\varphi : (x,y) \longmapsto xy^{-1}$ est continue, $\varphi^{-1}(V)$ est un voisinage ouvert de $(x,y)$ dans $G \times G$. Il existe donc un voisinage ouvert $V_x$ de $x$ et un voisinage ouvert $V_y$ de $y$ tels que $V_x \times V_y \subseteq \varphi^{-1}(V)$. Il existe donc $(h_x,h_y) \in (V_x \cap H) \times (V_y \cap H)$, et donc $\varphi(h_x,h_y) \in V$, mais on a aussi $\varphi(h_x,h_y) \in H$ car $H$ est stable par $\varphi$. Donc $V \cap H \neq \varnothing$ et $xy^{-1} \in Adh(H)$.
5) Existe-t-il une condition nécessaire et/ou suffisante pour qu'un sous-groupe soit dense ? (Je sais que les sous-groupes denses, ça existe)
6) Dans un GT, existe-t-il une base d'ouverts privilégiée ? (je sais qu'il existe un système fondamental de voisinages privilégié : les voisinages de $e$)
Si vous pouvez répondre à mes questions sans justifier vos réponses, ça serait parfait. Je veux faire les démonstrations moi-même, je demande juste qu'on me dise quoi démontrer (:D
PS pour bd2017 s'il passe par ici : aucun rapport avec mes questions sur la topologie dans les espaces vectoriels. Ga-ran-ti :-D
Je propose d'utiliser l'abréviation "GT" pour "groupe topologique" dans ce fil. Quand on en aura besoin, le GT ambiant sera noté $G$, noté multiplicativement, et son élément neutre sera noté $e$. Classique, simple.
Je précise : quand je parle de conditions nécessaires/suffisantes, il en existe parfois dans un espace topologique quelconque, je demande s'il en existe une plus intéressante/maniable dans le cas précis d'un GT.
1)a) Dans GT, un sous-groupe peut-il être ouvert ?
Oui : matrices de $\det > 0$ dans $GL_n$.
Proposition : un sous-groupe ouvert est toujours fermé.
Preuve : si $H$ est ouvert, alors $G \setminus H = \displaystyle \bigcup_{g \notin H}gH$, et les $gH$ sont ouverts comme translatés de $H$.
1)b) Si oui : existe-t-il une condition nécessaire et/ou suffisante pour qu'un sous-groupe soit ouvert ?
Proposition : Soit $H$ un sous-groupe de $G$. Les trois propositions suivantes sont équivalentes.
i) $H$ est ouvert
ii) $G/H$ est discret
iii) $H$ est d'intérieur non vide
Preuve : ) $\Longleftrightarrow$ ii) : $\{\overline{g}\}$ est ouvert dans $G/H$ si, et seulement si, $gH$ est ouvert dans $G$. Donc tout singleton de $G/H$ est ouvert, donc $G/H$ est discret. Réciproquement, si $G/H$ est discret, alors $\{e\}$ est ouvert, donc $eH=H$ est ouvert dans $G$.
i) $\Longrightarrow$ iii) est évident : si $H$ est ouvert, il est égal à son intérieur, et non vide car c'est un sous-groupe (il contient $e$).
iii) $\Longrightarrow$ i) : si $H$ est d'intérieur non vide, alors il existe $h \in H$ et un ouvert $V \subseteq H$ tel que $h \in V$. Soit donc $x \in H$. Soit $\varphi(g) = xh^{-1}g$, alors $\varphi(h)=x$, et $\varphi(V)$ est un ouvert qui contient $x$. Si $\varphi(V)$ est inclus dans $H$, alors $H$ est ouvert.
Soit $w \in \varphi(V)$. Alors il existe $v \in V$ tel que $w = \varphi(v) = xh^{-1}v$. Comme $V \subseteq H$, on a $x \in H$, $h \in H$ et $v \in H$, donc $w = xh^{-1}v \in H$ car $H$ est stable par produit. Donc $\varphi(V)$ est inclus dans $H$, donc $H$ est ouvert.
2)a) Dans GT, un sous-groupe peut-il être fermé ?
Oui : $SL_n = \det^{-1}(1)$ dans $GL_n$.
2)b) Si oui : existe-t-il une condition nécessaire et/ou suffisante pour qu'un sous-groupe soit fermé ?
Proposition : si $\{e\}$ est fermé, alors $G$ est séparé.
Remarque : si $\{e\}$ est fermé, alors tout singleton est fermé : $G \setminus \{e\}$ est ouvert, en appliquant une translation qui envoie $e$ sur $x$ on trouve que $G \setminus \{x\}$ est ouvert pour tout $x$.
Preuve : L'application $\phi : (x,y) \longmapsto x^{-1}y$ est continue (topologie produit), donc $\phi^{-1}(\{e\})$ est fermé dans $G \times G$. Or c'est la diagonale, donc $G$ est séparé.
Réciproque : soit $X$ un espace topologique. Si $X$ est séparé, alors tout singleton de $X$ est fermé.
Preuve : Soient $x \in X$. Pour tout $y \neq x$, on pose $V_y := \displaystyle \bigcup_{U \in \mathcal{V}_y}U$, où $\mathcal{V}_y$ est l'ensemble des ouverts contenant $y$ et ne contenant pas $x$. Alors $\displaystyle \bigcup_{y \neq x}V_y = X \setminus \{x\}$ est ouvert, donc $\{x\}$ est fermé.
Conclusion : un GT $G$ est séparé $\Longleftrightarrow$ $\{e\}$ est fermé.
Lemme : Si $H$ est un sous-groupe quelconque de $G$ et $\pi : G \longrightarrow G/H$ est la surjection canonique, alors $\pi$ est une application ouverte.
Preuve : Soit $U \subseteq G$ un ouvert. Il faut montrer que $\pi(U) \in G/H$ est ouvert. Par définition de la topologie quotient, c'est équivalent à montrer que $\pi^{-1}(\pi(U))$ est ouvert dans $G$.
$\pi^{-1}(\pi(U)) = \{x \in G \mid \pi(x) \in \pi(U)\} = \{x \in G \mid \exists u \in U : xH = uH\} = \{x \in G \mid \exists u \in U : x \in uH\} = \{x \in G \mid x \in UH\} = UH$.
Comme $UH = \displaystyle \bigcup_{h \in H}Uh$ et que $Uh$ est ouvert (par translation) pour tout $h$, $UH$ est ouvert comme réunion d'ouverts. Donc $\pi^{-1}(\pi(U))$ est ouvert.
Proposition : $H$ est un sous-groupe fermé (non nécessairement distingué) de $G$ si, et seulement si, l'ensemble quotient $G/H$ est séparé.
Preuve : Soient $\overline{x}$ et $\overline{y}$ dans $G/H$ tels que $\overline{x} \neq \overline{y}$. Notons $\phi : G \times G \longrightarrow G$, $(x,y) \longmapsto x^{-1}y$. Alors $\overline{x} \neq \overline{y}$ signifie $\phi(x,y) \notin H$. Donc $\phi(x,y) \in G \setminus H$, qui est ouvert car $H$ est fermé. Comme $\phi$ est continue, $\phi^{-1}(G \setminus H)$ est un ouvert de $G \times G$, notons-le $V$.
Il existe alors deux ouverts $V_x$ et $V_y$ de $G$ tels que $(x,y) \in V_x \times V_y$ et $V_x \times V_y \subseteq V$. Donc $x \in V_x$ et $y \in V_y$. Puisque $\pi : G \longrightarrow G/H$ est ouverte, $\pi(V_x) := U_x$ et $\pi(V_y):=U_y$ sont deux ouverts de $G/H$, et on a $\overline{x} \in U_x$ et $\overline{y} \in U_y$. Pour que $G/H$ soit séparé, il faut et il suffit que $U_x$ et $U_y$ soient disjoints.
Supposons qu'il existe $\overline{z} \in U_x \cap U_y$. Alors il existe $v_x \in V_y$ et $v_y \in V_y$ tels que $\overline{v_x} = \overline{v_y} = \overline{z}$. En particulier, $(v_x,v_y) \in V_x \times V_y \subseteq V$, et comme $V = \phi^{-1}(G \setminus H)$, on a $\phi(v_x,v_y) \in G \setminus H$. Mais $\overline{v_x} = \overline{v_y}$ est équivalent à $v_x^{-1}v_y \in H$, donc $\phi(v_x,,v_y) \in H$. Absurde. Donc $U_x$ et $U_y$ sont disjoints.
Réciproquement, si $G/H$ est séparé, alors $\{\overline{e}\}=\{H\}$ est fermé, donc $\pi^{-1}(\{H\}) \{x \in G \mid xH \in \{H\}\} = H$ est fermé dans $G$.
3)a) L'intérieur d'un sous-groupe peut-il être un sous-groupe ?
3)b) Si oui : existe-t-il une condition nécessaire et/ou suffisante pour ça ?
Proposition : Soit $H$ un sous-groupe de $G$. L'intérieur de $H$ est un sous-groupe de $G$ si, et seulement si, $H$ est ouvert (donc quand $Int(H)=H$).
Preuve : Si $Int(H)$ est un sous-groupe de $G$, alors c'est un voisinage ouvert de $e$. Dans ce cas, pour tout $h \in H$, $h Int(H)$ est un voisinage ouvert de $h$ inclus dans $H$, donc $H$ est ouvert. La réciproque est triviale.
4)a) L'adhérence d'un sous-groupe peut-elle être un sous-groupe ?
4)b) Si oui : existe-t-il une condition nécessaire et/ou suffisante pour ça ?
Proposition : Soit $H$ un sous-groupe de $G$. Alors $Adh(H)$ est un sous-groupe de $G$.
Preuve : $H \subseteq Adh(H)$ donc $Adh(H)$ contient $e$. Soient $x,y \in Adh(H)$. Soit $V$ un voisinage ouvert de $xy^{-1}$ dans $G$. Il faut montrer que $V$ intersecte $H$. Comme $\varphi : (x,y) \longmapsto xy^{-1}$ est continue, $\varphi^{-1}(V)$ est un voisinage ouvert de $(x,y)$ dans $G \times G$. Il existe donc un voisinage ouvert $V_x$ de $x$ et un voisinage ouvert $V_y$ de $y$ tels que $V_x \times V_y \subseteq \varphi^{-1}(V)$. Il existe donc $(h_x,h_y) \in (V_x \cap H) \times (V_y \cap H)$, et donc $\varphi(h_x,h_y) \in V$, mais on a aussi $\varphi(h_x,h_y) \in H$ car $H$ est stable par $\varphi$. Donc $V \cap H \neq \varnothing$ et $xy^{-1} \in Adh(H)$.
5) Existe-t-il une condition nécessaire et/ou suffisante pour qu'un sous-groupe soit dense ? (Je sais que les sous-groupes denses, ça existe)
6) Dans un GT, existe-t-il une base d'ouverts privilégiée ? (je sais qu'il existe un système fondamental de voisinages privilégié : les voisinages de $e$)
Si vous pouvez répondre à mes questions sans justifier vos réponses, ça serait parfait. Je veux faire les démonstrations moi-même, je demande juste qu'on me dise quoi démontrer (:D
PS pour bd2017 s'il passe par ici : aucun rapport avec mes questions sur la topologie dans les espaces vectoriels. Ga-ran-ti :-D
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Réponses
1)b) oui : un sous-groupe $H$ de $G$ est ouvert ssi l'espace quotient $G/H$ est discret ssi $H$ est d'intérieur non vide.
2)a) oui
2)b) oui : un sous-groupe $H$ de $G$ est fermé ssi l'espace quotient $G/H$ est séparé.
3)a) oui (edit)
3)b) l'intérieur d'un sous-groupe $H$ de $G$ est un sous-groupe de $G$ ssi $H$ est ouvert (cf 1))
4)a) oui (edit : plus précisemment c'est toujours le cas)
4)b) pas à ma connaissance en dehors des caractérisations dans un cadre plus général (edit : inutile puisque c'est toujours le cas)
J'ai essayé de réfléchir à la 1)a) (sous-groupe ouvert automatiquement fermé) mais je n'ai encore trouvé aucune idée. Je commence à fatiguer, j'y reviendrai demain. Cependant, je n'ai pas compris ce que tu as répondu à la 3) : d'abord tu dis non, ensuite tu donnes une condition pour que ce soit quand même vrai. Bon, c'est logique par définition que l'intérieur d'un sous-groupe $H$ soit un sous-groupe quand $H$ est ouvert, à voir pourquoi c'est une équivalence...
J'essaie de me fabriquer des exemples pour $1)$ et $2)$.
Dans $GL_n(\R)$ : je "sais" que le déterminant est un morphisme de groupes continu vers $\R^*$. Il faudrait que je revoie une démonstration propre, je me souviens que l'argument habituel est que "c'est polynomial" mais dit comme ça c'est assez approximatif. En tout cas, $SL_n(\R)$ est un sous-groupe, et il est fermé parce que c'est $\det^{-1}(1)$.
Avec la même logique, le sous-groupe des matrices de déterminant strictement positif (est-ce qu'il a un nom ? je ne me souviens plus) est ouvert car c'est $\det^{-1}(]0~;~\infty[)$. Je ne démontre pas que c'est un sous-groupe, ça se fait en une ligne, flemme de le rédiger.
De plus 4)a)bis) l'adhérence d'un sous-groupe distingué est un sous-groupe distingué.
Edit : je n'avais pas vu Manda ci-dessus...
Je veux montrer que $G \setminus H$ contient un voisinage ouvert de $x$.
Soit $V$ un voisinage ouvert de $e$ inclus dans $H$. Soit $\varphi : G \longrightarrow G$, $g \longmapsto xg$. Alors $\varphi(V) = xV$ est un voisinage ouvert de $x$.
Supposons que $xV$ contienne un élément $h \in H$. Alors on a $xv=h$, avec $v \in H$ et $h \in H$. Mais alors, $x=hv^{-1}$, donc $x \in H$, ce qui est absurde. Donc $xV \cap H = \varnothing$ et $G \setminus H$ contient un voisinage ouvert de $x$.
Tel quel, ça m'a l'air trop simple pour être correct, mais je ne trouve pas d'erreur.
Mais si on sait déjà que les classes à gauche modulo $H$ partitionnent $G$, alors on peut aussitôt écrire $G\setminus H=\bigcup_{g\neq e}gH$, ce qui permet de conclure directement que $G\setminus H$ est ouvert.
Il y a équivalence entre :
i) $H$ est ouvert
ii) $G/H$ est discret
iii) $H$ est d'intérieur non vide
i) $\Longleftrightarrow$ ii) : $\{\overline{g}\}$ est ouvert dans $G/H$ si, et seulement si, $gH$ est ouvert dans $G$. Donc tout singleton de $G/H$ est ouvert, donc $G/H$ est discret. Réciproquement, si $G/H$ est discret, alors $\{e\}$ est ouvert, donc $eH=H$ est ouvert dans $G$.
i) $\Longrightarrow$ iii) est évident : si $H$ est ouvert, il est égal à son intérieur, et non vide car c'est un sous-groupe (il contient $e$).
Il me reste à prouver une implication qui part de iii). Je n'ai pas encore trouvé une idée.
Je me permets de relever une coquille : c'est $G \setminus H = \displaystyle \bigcup_{g \not\in H}gH$.
3)a) n'a aucun intérêt puisque l'intérieur de $G$ est $G$.
La question plus intéressante pour toi serait de constater que l'intérieur d'un sous-groupe d'un GT peut ne pas être en être un sous-groupe.
$\R$ est un GT. $\Z$ est un sous-groupe de $\R$. L'intérieur de $\Z$ n'est pas un sous-groupe. C'est ce que tu me demandais de chercher.
Je suppose donc que $H$ est d'intérieur non vide : alors il existe $h \in H$ et un ouvert $V \subseteq H$ tel que $h \in V$.
Je dois montrer que $H$ contient alors un voisinage de chacun de ses points. Soit donc $x \in H$.
Soit $\varphi(g) = xh^{-1}g$, alors $\varphi(h)=x$, et $\varphi(V)$ est un ouvert qui contient $x$. Si $\varphi(V)$ est inclus dans $H$, alors $H$ est ouvert.
Soit $w \in \varphi(V)$. Alors il existe $v \in V$ tel que $w = \varphi(v) = xh^{-1}v$. Comme $V \subseteq H$, on a $x \in H$, $h \in H$ et $v \in H$, donc $w = xh^{-1}v \in H$ car $H$ est stable par produit. Donc $\varphi(V)$ est inclus dans $H$, donc $H$ est ouvert.
Je répondais à cette phrase. Qu'est-ce qu'il y a de pas simple, puisque tu as trouvé directement $\mathbb Z$ dans $\mathbb R$ ?
@Max : Oui, mais ce que je veux dire c'est qu'on n'a pas besoin du résultat de Manda pour trouver des contre-exemples.
Bref, je m'arrête là.
Si $H$ est fermé, alors $G \setminus H$ est ouvert. Or, $G \setminus H = \displaystyle \bigcup_{g \notin H}gH$.
Or les $gH$ partitionnent $G$ : deux classes sont soit disjointes, soit confondues. Donc je peux écrire $G \setminus H$ comme une réunion disjointe en choisissant un système de représentants $R$ dans $G$ : $G \setminus H = \displaystyle \bigsqcup_{g \in R \setminus H}gH$.
Je ne pense pas que $G \setminus H$ puisse être ouvert si l'un des $gH$ n'est pas ouvert, justement parce que la réunion est disjointe. Donc tous les $gH$ sont ouverts, chaque singleton est ouvert dans le quotient, donc $G/H$ est carrément discret, donc séparé.
Si l'un des $gH$ n'est pas ouvert, alors il existe un $x$ dans ce $gH$ qui n'a pas de voisinage ouvert dans ce $gH$. comme les $gH$ sont tous disjoints (et qu'un voisinage de $x$ doit contenir $x$), ça veut dire que $x$ n'a pas de voisinage ouvert dans $G \setminus H$.
Avec la même logique, si $H$ n'est pas fermé, alors il existe $g$ tel que $gH$ n'est pas ouvert, donc il existe $x \in gH$ qui n'admet aucun voisinage ouvert inclus dans $gH$ : pour tout voisinage $V$ de $x$, il existe $y$ tel que $y \in V$ mais $\overline{x} \neq \overline{y}$.
Il va falloir montrer que $\overline{x}$ pose un problème de séparation dans le quotient : il faut que je montre qu'il existe $\overline{x} \neq \overline{y}$ dont deux voisinages quelconques ne sont jamais disjoints. Je n'y arrive pas encore.
En attendant, j'aimerais déjà savoir si j'ai écrit des bêtises dans ce message et dans celui-ci.
$x$ peut avoir un voisinage dans $G\setminus H$ qui débordre d'un $gH$ vers l'autre, même s'ils sont bien disjoints (et c'est ce qui se passe)
Ton autre message est correct (et devrait répondre à la question 3 sur l'intérieur d'un sous-groupe, d'ailleurs)
1) Montrer que la projection canonique $G\to G/H$ est ouverte (ici on ne suppose pas $H$ fermé).
2) Montrer que si $H$ est fermé alors le sous-ensemble $\Gamma := \{(f,g)\in G\times G \mid f^{-1}g\in H\}$ est fermé dans $G\times G$ muni de la topologie produit.
3) À l'aide de 1) et 2) montrer que $H$ fermé entraîne $G/H$ séparé.
Si $\{e\}$ est fermé, alors $G \setminus{\{e\}}$ est ouvert, donc $\varphi(G \setminus \{e\})$ est ouvert pour toute translation $\varphi$.
Pour tout $x$, soit $\varphi_x : g \longmapsto xg$. Alors $\varphi_x(g)=x \Longleftrightarrow g=e$, donc $\varphi_x(G \setminus\{e\}) = G\setminus\{x\}$. Donc Si $\{e\}$ est fermé, tout singleton est fermé, donc $G$ est discret, donc séparé.
Si $G$ est séparé : aucune idée.
$(\R,+)$ avec la topologie usuelle fournit un contre-exemple.
C'est avec "ouvert" que ça donne discret
PS : oups j'avais pas vu la réponse
Ne serait-ce pas "ouvert et fermé" ?
Cordialement.
Dans ce cas si $H$ fermé alors $\{eH\}$ est fermé dans $G/H$ et en appliquant le résultat ci-dessus à $G/H$ on en déduit que $G/H$ est séparé.
Sauf que tout ceci n'est valable que si $H$ est normal, autrement $G/H$ n'est pas un groupe. Donc Homo Topi, à la fin tu n'auras pas ce que tu cherches...
Je ne sais pas si on peut sauver l'argument de Manda, quoi qu'il en soit on peut procéder d'une autre façon, comme indiqué ici http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?14,2302152,2302874#msg-2302874.
Je sais cependant que le critère de séparation est un résultat important, alors j'ai envie de le montrer quand même.
C'est juste que je ne vois aucun rapport entre "$\{e\}$ fermé" et "tous $x,y$ admettent des voisinages ouverts disjoints".
1) montrer que l'application $\phi:G\times G\to G, (f,g)\mapsto f^{-1}g$ est continue
2) En déduire que la diagonale $\phi^{-1}(e)$ est fermée
3) En déduire que $G$ est séparé.
Je vais essayer avec ça.
Sinon sur ces questions il faut déjà se renseigner sur ce qu est la topologie quotient.
La topologie produit me pose déjà plus de problèmes. Typiquement, si je prends comme définition de GT que les applications $(x,y) \longmapsto xy$ et $x \longmapsto x^{-1}$ sont continues, alors je suis censé pouvoir montrer que c'est une définition équivalente que $(x,y) \longmapsto xy^{-1}$ est continue. A partir de là, montrer que l'application de raoul.S est continue devrait être assez simple. Mais j'ai déjà du mal à montrer l'équivalence des définitions.