Décomposition en éléments simples

Bonjour,
Je voudrais écrire $\frac{(z-\overline{p_1})(z-\overline{p_2})}{(1-p_1z)(1-p_2z)}$ sous la forme de $\frac{a}{1-p_1z}+\frac{b}{1-p_2z}$, où $a$ et $b$ sont deux constantes à déterminer.
J'ai trouvé \begin{gather*}
a=\frac{(1-|p_1|^2)(1-p_1\overline{p_2})}{p_1(p_1-p_2)}\\
b=\frac{(1-\overline{p_1}p_2)(1-|p_2|^2)}{p_2(p_2-p_1)}
\end{gather*}
Est-ce que c'est correct? (Car en essayant de calculer $a+b$, au lieu de trouver $\overline{p_1}\overline{p_2 }$ je trouve à la place $\overline{p_1}\overline{p_2 }-\frac{1}{p_1p_2}$. Et je n'arrive pas à trouver mon erreur si c'est dans le développement de $a+b$ ou si c'est les expressions de $a$ et $b$ qui sont incorrectes.)
Merci d'avance !