Sous-groupes de $(\Bbb Q^*,\times)$

Regarder la restriction du logarithme à $\Q^{*}$ et on connait les sous-groupes de $(\R,+)$.


Edit : évidemment on ne peut pas prendre le log d'un nombre négatif... cf remarque ici http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,2302566,2302632#msg-2302632

Si tu connais les sous-groupes de $(\R,+)$ tu connais automatiquement les sous-groupes de $(\Q^{*},\times)$ via le log.

Edit : évidemment on ne peut pas prendre le log d'un nombre négatif... cf remarque ici http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,2302566,2302632#msg-2302632

Quelques remarques :

1- Le résultat est faux même pour $(\mathbb Q,+)$, on pourra penser par exemple à $\mathbb Z[\frac{1}{p}]$ qui n'est pas monogène ($p$ un nombre premier par exemple). Il est en particulier évidemment faux pour d'autres structures de groupes, où les $r\mathbb Z$ ne seront même pas forcément des sous-groupes...
(pour $(\mathbb Q,+)$, on sait décrire les sous-anneaux de $\mathbb Q$, qui nous donnent un grand nombre d'exemples de sous-groupes, non exhaustif, "bien entendu")

2- $( \mathbb Q^*,\times)$ a une description en tant que groupe qui est très simple, bien plus que $(\mathbb Q,+)$. En effet, grâce aux nombres premiers, il est isomorphe à $\mathbb Z/2\times \bigoplus_{p\in \mathcal P}\mathbb Z$ ($\mathcal P$ l'ensemble des nombres premiers). Cela fournit une floppée de sous-groupes (sans pour autant tous les décrire), par exemple pour tout sous-ensemble $S\subset \mathcal P$ on a $\mathbb Z/2\times\bigoplus_{p\in S}\mathbb Z$, ou $\bigoplus_{p\in S}\mathbb Z$, ou encore $\mathbb Z/2$ .

3- L'idée d'utiliser le log de raoul.S ne serait pas mauvaise en principe, mais je doute qu'on sache décrire les sous-groupes de $(\mathbb R,+)$ (on sait qu'ils sont monogènes ou denses, mais ça ne nous renseigne pas tant que ça...)

nyadis : quid de $a^2, a^3$, ... ?

Pour faire un dessin, la dichotomie monogène/dense suffit...