Théorème de convergence dominée de Lebesgue

vw
vw
dans Analyse
Salut

Soit $\Omega$ un domaine borné $(f_n)_{n\in \mathbb{N}}$ une suite de fonctions mesurables sur un espace mesuré ${\displaystyle (E,{\mathcal {A}},\mu )}$, à valeurs réelles ou complexes, telle que :
$f_n$ converge p.p vers $f $
$f_n$ est bornée dans $L^{p}(\Omega)$.
Alors $f_n$ converge fortement dans $L^{p}(\Omega)$.

Est-ce que ce que j'ai écrit au dessus est vrai en utilisant le théorème de convergence dominée de Lebesgue.

Edit en rouge.

Réponses

  • Frédéric Bosio
    Frédéric Bosio
    Non.
  • math2
    math2
    Un petit contre-exemple, $E=\N$ muni de la mesure de comptage, et $f_n=1_{\{n\}}$ pour tout $n$.
  • vw
    vw
    $f_n$ est égale à $1$ si $x\in \mathbb{N}$ et 0 sinon ?
  • Frédéric Bosio
    Frédéric Bosio
    Non, $f_n $ vaut $1$ en le seul entier $n$. Et vaut $0$ en tous les autres.
  • math2
    math2
    $f_n(n)=1$ et $f_n(k)=0$ pour tout autre $k$ entier ($f_n$ est définie sur $\N$).

    Ainsi $(f_n)_n$ converge simplement vers la fonction nulle $\N\to \R$, mais $\|f_n\|_p=1$ pour tout $p$ de sorte que la suite est bornée dans $L^p$ mais ne converge pas pour la norme vers $0$.
  • math2
    math2
    Excuse-moi je n'avais pas vu l'hypothèse $\Omega$ borné...

    Je me place donc dans $E=\Omega=[0;1]$ muni de sa famille de parties comme tribu et de la mesure de comptage $\mu$. Ici $\Omega$ est borné.

    Et cette fois je pose $f_n=1_{1/n}$, c'est-à-dire que $f_n(x)=0$ sauf si $x=1/n$ auquel cas $f_n(1/n)=1$

    Nous avons toujours les formules annoncées plus haut.
  • vw
    vw
    Oui ..j'ai ajouté l'hypothèse après sans indiquer que j'ai modifiée le message..excusez-moi!
    Merci beacoup math2 &Frédéric Bosio .
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