Hyperplan dans un espace vectoriel normé
Bonjour,
Je bloque sur cet exercice.
Montrer qu'un hyperplan d'un espace vectoriel normé $E$ est soit un fermé de $E$, soit dense dans $E$.
Je sais que $H$ est dense dans $E$ si et seulement si l'une des trois conditions est respectée :
i) $E \subset \bar{H}$.
ii) Pour tout $x \in E$, pour tout $r>0$, il existe $y \in H$ tel que $||x-y|| \leq r$.
iii) Pour tout $x \in E$, il existe une suite d'éléments de $H$ qui converge vers $x$.
$H$ est un fermé si et seulement si la limite de toute suite convergente d'éléments de $H$ appartient à $H$.
Mais je n'arrive pas à utiliser ces propriétés pour résoudre l'exercice.
Je bloque sur cet exercice.
Montrer qu'un hyperplan d'un espace vectoriel normé $E$ est soit un fermé de $E$, soit dense dans $E$.
Je sais que $H$ est dense dans $E$ si et seulement si l'une des trois conditions est respectée :
i) $E \subset \bar{H}$.
ii) Pour tout $x \in E$, pour tout $r>0$, il existe $y \in H$ tel que $||x-y|| \leq r$.
iii) Pour tout $x \in E$, il existe une suite d'éléments de $H$ qui converge vers $x$.
$H$ est un fermé si et seulement si la limite de toute suite convergente d'éléments de $H$ appartient à $H$.
Mais je n'arrive pas à utiliser ces propriétés pour résoudre l'exercice.
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Réponses
I) Si elle n’est pas continue alors elle n’est pas continue en zéro (a cause de la linéarité).
2) Si elle n’est continue en zéro alors je peux trouver $x_n$ qui tend vers zéro telle que $ |f(x_n)|>a>0.$
Ensuite je fixe $z$ et je pose
$$
y_n= z- \frac{f(z)}{f(x_n)} x_n.
$$ Et on vérifie que $y_n\to z$ et que $z$ est dans le noyau de $f$.
Tu te rends compte que rien que d'essayer de comprendre les corrigés "qui sont du chinois" ça contribuerait à ce que tu ne sois plus le gros manche en maths ridicule qui tu es ?
Je ne sais pas, étudie le corrigé longtemps, relis ton cours en parallèle si nécessaire, prends plusieurs heures s'il faut, mais fais un vrai effort quoi ! Comment on peut travailler autant sans jamais fournir un seul effort même en lisant le corrigé ?
Si les maths sont si pénibles pour toi tu n'as qu'à t'installer à la plage et faire des pâtés de sable toute la journée.
Connaissant la définition d'hyperplan, la réponse devient triviale..
.
@RLC
Dans mon livre, l'exercice est étoilé ce qui signifie que les auteurs le jugent difficile.
@Zig ok merci je vais essayer de le démontrer.
Je te dis juste de te bouger pour comprendre un corrigé seul pour une fois.
Soit $F$ un sous-espace vectoriel de $E$. Montrons que $\bar{F}$ est un sous-espace vectoriel de $E$.
Soient $(a,b) \in \K^2$ et $(x,y) \in \bar{F}^2$. Il existe des suites $(x_n)$ et $(y_n)$ d'éléments de $F$ qui convergent vers $F$ de sorte que $x_n \longrightarrow x$ et $y_n \longrightarrow y$.
Ainsi, $a x_n +b y_n \longrightarrow ax+by$
Or la suite $(ax_n+by_n)$ est une suite d'éléments de $F$ car $F$ est un sous-espace vectoriel de $E$, elle converge vers $ax+by$.
Donc $ax+by \in \bar{F}$
Par ailleurs, $0 \in F \subset \bar{F}$, ce qui conclut la démonstration.
@Julian
Une forme linéaire est une application linéaire de $E$ dans $\K$.
@Bd2017
Un hyperplan $H$ est un sous-espace vectoriel de codimension $1$. Si $a \notin H$, alors on a $E=H \oplus Vect(a)$
C'est le sous-espace vectoriel de dimension maximale inclus dans $E$ et non égal à $E$.
Je ne comprends pas bien cette définition. En particulier la terminologie "dimension maximale," peux tu l'expliquer?
Et l'emploi de l'article défini "le". Il n'y a qu'un seul hyperplan dans un e.v.n E?
P.S je n'ai pas vu le message de @Zig , tu peux dialoguer avec lui...
Donc pour finir ? Si F est inclus strictement dans son adhérence, alors ...
sachant qu'un hyperplan est une élément maximal pour l'inclusion (et non pour la dimension...) parmi les sous-espaces stricts..
.
Je ne vois pas le lien avec ce qu'on veut montrer.
Si E est de dimension n alors H est de dimension n-1. C'est la dimension maximale strictement inférieure a la dimension de E.
Je te redonne donc cette définition (ou propriété caractéristique) de la notion d'hyperplan, valable dans tous les cas :
L'ensemble des sous-espaces stricts d'un espace vectoriel possède des éléments maximaux (pour l'ordre induit par l'inclusion); ces éléments sont appelés hyperplans.
Pas suite, l'exercice est fini, car ou bien F est égal à son adhérence, et donc est fermé, ou bien il est strictement inclus dans son adhérence, qui est un sous-espace et ne peut qu'être égale à E tout entier par le caractère maximal de F.
.
Soit $E=L^{2}([0,1])$ muni de la norme $|| . ||_2$ et $F={\cal C}([0,1])$ (espace des fonction continues sur $[0,1]$ )
$F $ est-il un hyperplan de $E$ ?
P.S Alors je change d'exemple Soit $E={\cal C}([0,1]) $ muni de la norme de la C.V.U.
Soit $F$ le s.e.v constitué des fonctions polynomiales.
Même question : $F$ est-il dense dans $E $, est-il un hyperplan de $E$ ?
On pourrait commencer avec $\mathbb R[X]$ et $\{P \in \mathbb R[X] \mid \exists n \in \mathbb N^*, \exists a_1, \dots, a_n \in \mathbb R^n, P = \sum_{k=1}^n a_n X^n\}$.
OShine est-ce que tu arrives à détailler cette partie, c'est-à-dire à démontrer rigoureusement que la suite $(ax_n+by_n)$ converge vers $ax+by$ ?
.
Mais en gros je voulais dire dans le sens où on s'imagine une feuille de papier très fine dans tout l'espace. Même si ce n'est que le cas fermé c'est bizarre de concevoir qu'un hyperplan puisse être dense. L'algèbre linéaire réserve bien des pièges hors de la dimension finie...
Application : tout sous-espace strict d'un espace vectoriel normé est d'intérieur vide, y compris les hyperplans.
Je n'ai jamais vu cette définition d'un hyperplan est-elle au programme de MP ?
1. Si la forme linéaire est continue $H=f^{-1}(0)$ est un fermé car image réciproque de .....
2. voir @psychcorse
Sinon soit $H$ un hyperplan (i.e un s.e.v strict de $E$ maximal pour l'inclusion)
Si $H$ n'est pas un fermé alors que dire de $\bar{H}$ ...
Il est toujours possible d'inclure un sous-espace vectoriel dans un sous-espace plus grand en ajoutant un vecteur indépendant. Concrètement, si $F$ est un SEV et $v \notin F$, alors $F + Vect(v)$ est un SEV qui contient $F$. Ben, un hyperplan, c'est juste un SEV auquel on ne peut rien rajouter sans obtenir l'espace complet. Donc c'est un sous-espace strict, mais maximal pour l'inclusion : dès qu'on l'inclut dans un SEV strictement plus grand, ce SEV plus grand est l'espace entier.
Homo Topi
Ok.
A quoi ça sert de montrer que l'adhérence de H est un sous-espace vectoriel ?
Si H n'est pas fermé alors H n'est pas égal à son adhérence.
Mais comment sais-tu qu'on doit supposer H non fermé ?
C'est quoi comme type de raisonnement logique ? On veut montrer A ou B.
Là aussi, ça sert à répondre à ta question.
Simple question (je ne juge pas) : tu veux apprendre "mécaniquement" un programme, en faisant confiance que le programme est bien conçu, ou tu veux apprendre une théorie mathématique et à manier ses objets ? Moi, personnellement, je suis dans le second cas, les programmes scolaires/universitaires s'arrêtent souvent avant de creuser des choses intéressantes.
Si tu veux absolument apprendre un programme d'études, tu peux zapper le paragraphe suivant. Si tu veux/veux essayer mon approche à moi, lis-le.
Pour faire "très" simple, en maths on commence toujours par mettre un cadre algébrique et topologique dans notre bazar. On travaille dans des structures algébriques (groupe, espace vectoriel, anneau...) et/ou topologiques (espace topologique abstrait, espace métrique...). Ces structures ont des morphismes qui sont associés, qui sont les applications qui "respectent" la structure (bonus : on est à deux doigts de faire de la théorie des catégories). Les morphismes de groupes etc, ça se reconnait au nom. Les morphismes d'espaces vectoriels, tu connais aussi, on appelle ça des applications linéaires. Et les morphismes d'espaces topologiques, on appelle ça des applications continues. Un espace vectoriel normé, c'est une structure algébrique et une structure topologique qui sont compatibles entre elles : les applications linéaires continues sont les morphismes d'EVN. Donc ce sont les applications linéaires continues qui sont importantes à savoir manier quand on s'intéresse aux EVN ! C'est très, très souvent grâce aux morphismes de structures qu'on apprend des choses sur ces structures.
En dimension finie, toute application linéaire est continue (exercice : preuve ?).
Dans un espace vectoriel $E$ de dimension finie ou non, pour un sous-espace $F$, il y a équivalence entre :
- le sous-espace $F$ est maximal, pour l'inclusion, dans l'ensemble des sous-espaces de $E$ autres que $E$ ;
- le sous-espace $F$ est supplémentaire d'une droite vectorielle ;
- le sous-espace $F$ est le noyau d'une forme linéaire non nulle.
Un sous-espace qui satisfait à ces propriétés est un hyperplan. Cette définition ne nécessite pas de référence à la notion de dimension.
Je connaissais les deux dernières.
Proposition (cours de MPSI) :
Si $H$ est un sous-espace vectoriel de $E$, les propositions suivantes sont équivalentes :
i) Il existe une droite vectorielle $D$ telle que $E=H \oplus D$.
ii) Il existe une forme linéaire non nulle $\varphi$ telle que $H=\ker \varphi$
On appelle hyperplan vectoriel de $E$ tout sous-espace vectoriel $H$ de $E$ vérifiant l'une de ces conditions.
@Homo Topi
On peut résoudre cet exercice sans utiliser la continuité dans un evn, sinon mon livre l'aurait mis dans le chapitre suivant.
Une fois ceci acquis, déduis le résultat de ton exercice du fait que $\overline{H}$ est un sous-espace vectoriel de $E$.
Supposons que $F \ne E$ et montrons que $F=H$.
Comme $F \ne E$, alors $F \ne H+ D$. Après je bloque.
Soit $x \in F \setminus H$. Comme $x \notin H$, alors les sous-espaces vectoriels $H$ et $Vect(x)$ sont supplémentaires.
Ainsi, on a $\boxed{E=H \oplus Vect(x)}$.
Mais $H \subset F$ et $Vect(x) \subset F$ car $F$ est un sous-espace vectoriel de $E$ donc stable par combinaisons linéaires.
Par conséquent, on en déduit que $E=H \oplus Vect(x) \subset F$. Donc $E \subset F$.
Comme $F$ est un sous-espace vectoriel de $E$, on a $F \subset E$.
Finalement, par double inclusion, on a montré que $\boxed{F=E}$.
Pour revenir à l'exercice. Voici ma proposition.
Soit $H$ un hyperplan.
On suppose que $H$ n'est pas fermé et on veut montrer que $H$ est dense dans $E$, c'est-à-dire que $E \subset \bar{H}$.
On sait que $H \subset \bar{H}$. Comme $H$ n'est pas fermé, on a une inclusion stricte.
Mais $H$ est de dimension maximale pour l'inclusion, donc forcément $\bar{H}=E$ et $H$ est dense dans $E$.
C'est vrai que tu ne nous a jamais posé de questions sur les normes matricielles.
Mais aussi, tu ne nous as jamais posé le problème de la continuité d'une fonction à 2 ou 3 variables.
Bref tu t'es attaqué à des problème d'E.N.S et d'agrégation avec une faible connaissance de la continuité...
En gros tu mets une norme sur un espace et tu en fais quoi ?
Ensuite avec une autre définition ça ne vas pas non plus car c'est pas au programme de classe prépa.
Alors laisse tomber ta question. Tout se passe comme si tu voulais qu'on t'aide à changer le pneu de ta voiture mais sans cric et sans manivelle.
Continue alors à rouler avec tes pneus crevés.