Limite de $f (x)-f(y)$

En fait je m'intéresse au cas où $f $ n'admet pas forcément de limite.
En fait j'ai une équation de Volterra
\[f(x)=f_0(x)+\int_0^xk (x-t)f(t)dt\] où $k $ est intégrable et converge vers $0$ à l'infini et $f $ bornée. De plus $f_0$ converge à l'infini.
Mon objectif est de montrer que $f $ admette une limite finie à l'infini. Pour cela j'ai pensé au critère de Cauchy et j'obtiens un terme du genre pour $y>x $
\[\int_0^xk(u)\big(f(y-u)-f(x-u)\big)du\] que je veux montrer que ça tende vers $0$.

La convergence dominée ne peut pas marcher ici, vu que $f$ n'est pas forcément intégrable (sinon c'est le cas où $f$ n'est pas intégrable qui m'intéresse).
D'autre part si tu penses à faire ceci
\[f(x)=f_0(x)+\int_0^xk(t)f(x-t)dt
\] Oui mais que dis-tu de ça $$\lim_{x\to\infty}f(x-t).$$ Nous savons juste que $f$ est bornée.

Explique car je ne vois pas.

Peut-être on ne se comprend pas. Ce n'est pas appliquer le théorème de convergence dominée qui est un problème.
Par l'expression
\[f(x)=f_0(x)+\int_0^xk(t)f(x-t)dt\] vu que $f$ est bornée et $k$ intégrable on peut permuter la limite et la somme. Cependant ça n'aide en rien vu qu'on ne peut rien dire de la limite de $f(x-t)$ lorsque $x\to+\infty$. D'ailleurs mon but est de montrer que $f$ converge.

$\newcommand{\mes}{\operatorname{mes}}$Si $f$ est continue et à support compact, alors $f$ est uniformément continue. D'où
\[\forall\epsilon>0,\ \exists A>0,\ \forall x,y\in\mathbb{R},\quad x\geq A,\ y\geq A\implies |f(x)-f(y)|\leq\epsilon.
\] Est-ce correct ?
J'ai envie d'utiliser un truc de ce genre pour montrer que
\[\lim_{\substack{x,y\to+\infty\\y\geq x}}\int_0^x|f(y-r)-f(x-r)|dr=0.
\] En fait si cet inégalité est juste (d'ailleurs je prendrais $f=k$ et comme $k$ converge on aura cet inégalité par le critère de Cauchy.) on a pour $y>x\geq A$
\begin{align*}
\int_0^x|f(y-r)-f(x-r)|dr&=\int_0^{x-A}|f(y-r)-f(x-r)|dr+\int_{x-A}^x|f(y-r)-f(x-r)|dr\\
&=\int_{\left\{y-\{f\neq0\}\right\}\cup\left\{x-\{f\neq0\}\right\}}|f(y-r)-f(x-r)|1_{r\leq x-A}dr+\int_{x-A}^x|f(y-r)-f(x-r)|dr\\
&\leq2\mes\left(\{f\neq0\}\right)\epsilon+\int_{x-A}^x|f(y-r)-f(x-r)|dr.

\end{align*} Donc pour tout $\epsilon>0$
\[\lim_{\substack{x,y\to+\infty\\y\geq x}}\int_0^x|f(y-r)-f(x-r)|dr\leq2\mes\left(\{f\neq0\}\right)\epsilon.\]

Je suis d'accord. Cependant dans un bouquin je viens de voir que la formule de Cauchy pour des fonctions et elle correspond bien à la formule que j'ai mentionnée.

Dans Haïm Brezis si $f$ est uniformément continu, on a ce résultat en prenant une limite vers $0$.

[ Haïm Brezis (1944- ) mérite le respect de son prénom. AD]

Le calcul de la valeur de la limite est un peu plus complexe que ça en a l'air. La fonction $f $ a deux limites possibles, dans le premier cas on utilise la convergence dominé car on suppose $f $ intégrable et dans le second cas on suppose que $f $ n'est pas intégrable et il devient compliqué d'appliquer la convergence dominée.