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Tensoriel et tensoriel des quotients

Bonjour

Soit $ E $ et $ F$ deux espaces vectoriels et $M$ et $N$ deux sous-espaces vectoriels de $ E $ et $ F$ respectivement.

1) Quelle est la définition du produit tensoriel des espaces quotients $ (E/M)\otimes (F/N) \ $ ?

2) Quelle est la relation entre $ \dot{x}\otimes \dot{y} $ et $ x\otimes y \ $ ?

Merci beaucoup.

Réponses

  • 1) Quelle est la définition du produit tensoriel tout court ?
  • mehdi : je pense qu'une question plus naturelle à se poser, c'est : est-ce que $(E \otimes F)/(M \otimes N) \simeq (E/M) \otimes (F/N)$ ?

    Parce que normalement, quand on découvre les produits tensoriels, les quotients on est déjà familier avec. Donc $(E/M) \otimes (F/N)$, ce n'est pas un objet compliqué : c'est le PT de deux espaces quotients, d'accord, mais un espace quotient on sait ce que c'est. Un quotient de PT, là, c'est peut-être un peu plus compliqué, donc à mon sens c'est ça la question la plus essentielle.
  • Il est clair que l'application définie sur $E \times F$ par $(x,y) \mapsto (x + M) \otimes (y + N)$ est bilinéaire et surjective, donc induit une application linéaire surjective $x \otimes y \mapsto (x + M, y + N)$ de $E \otimes F$ dans $(E/M) \otimes (F/N)$.

    Il est aussi clair que cette application s'annule sur $M \otimes N$, d'où une factorisation (toujours surjective) $(E \otimes F)/(M \otimes N) \to (E/M) \otimes (F/N)$.

    Par contre le noyau de cette application est en général plus gros car il contient $M \otimes F + E \otimes N$.

    En dimension finie, il est clair que ces deux espaces ne sont en général pas isomorphes car en notant $e, f, m, n$ les dimensions de $E, F, M$ et $N$ respectivement, on a $$\dim (E \otimes F)/(M \otimes N) = ef-mn$$ tandis que $$\dim (E/M) \otimes (F/N) = (e-m)(f-n) = ef-en-fm+mn = (ef-mn) - (en+fm-mn),$$ et $en+fm-mn > 0$ dès que $fm > 0$ ou $en > 0$.
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