Tensoriel et tensoriel des quotients

1) Quelle est la définition du produit tensoriel tout court ?

Il est clair que l'application définie sur $E \times F$ par $(x,y) \mapsto (x + M) \otimes (y + N)$ est bilinéaire et surjective, donc induit une application linéaire surjective $x \otimes y \mapsto (x + M, y + N)$ de $E \otimes F$ dans $(E/M) \otimes (F/N)$.

Il est aussi clair que cette application s'annule sur $M \otimes N$, d'où une factorisation (toujours surjective) $(E \otimes F)/(M \otimes N) \to (E/M) \otimes (F/N)$.

Par contre le noyau de cette application est en général plus gros car il contient $M \otimes F + E \otimes N$.

En dimension finie, il est clair que ces deux espaces ne sont en général pas isomorphes car en notant $e, f, m, n$ les dimensions de $E, F, M$ et $N$ respectivement, on a $$\dim (E \otimes F)/(M \otimes N) = ef-mn$$ tandis que $$\dim (E/M) \otimes (F/N) = (e-m)(f-n) = ef-en-fm+mn = (ef-mn) - (en+fm-mn),$$ et $en+fm-mn > 0$ dès que $fm > 0$ ou $en > 0$.