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Inversibles positifs de $\Z[\sqrt n]$

Bonjour,

Dans un exercice, je ne parviens pas à montrer que le groupe des inversibles positifs de $\Z[\sqrt n]$ est monogène.

Merci d’avance pour votre aide.

Réponses

  • Voir le théorème des unités de Dirichlet. On doit pouvoir en donner une démonstration plus courte dans le cas du degré $2$ comme ici.
  • Bonjour Nicolas.

    Une indication : Si $a+b\sqrt n\notin\{-1,1\}$ est un inversible de $\Z[\sqrt n]$ alors $\pm a\pm b\sqrt n$ l'est aussi.
    Parmi ces quatre nombres, l'un est dans $]-\infty,-1[$, un dans $]-1,0[$, un dans $]0,1[$ et un dans $]1,+\infty[$.

    e.v.
    An apple a day keeps the doctor away ... As long as you aim well (Winston Churchill)
  • Merci, mais je ne veux pense pas avoir le niveau requis pour comprendre ce théorème. J’envoie les questions intermédiaires que j ai résolues.126658
  • Je sais mais je peine à trouver un générateur.
  • bonjour, toute partie finie (discrète) possède un plus petit élément
    A demon  wind propelled me east of the sun
  • Bonsoir, en fait ce problème est lié à l'équation de Pell-Fermat (et alii): $x^2 - Ny^2 = 1$; commence par considérer la norme $N(x) = a^2- Nb^2 $ d'un élément de $G$ et vérifie que cette norme est multiplicative; il faut aussi prouver ensuite que les $x = a + b\sqrt{n}$ avec $a \geq 1$ et $ b\geq 0$ solutions de $N(x) = 1$ sont rangés dans le même ordre que leur coefficient $a$ et tu auras bien avancé.

    Tu peux consulter entre autre: Elementary Number Theory de Underwood Dudley chez Dover.
    A demon  wind propelled me east of the sun
  • une autre référence est Number Theory de Trygve Nagell chez Chelsea page 197 et suivantes
    A demon  wind propelled me east of the sun
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