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Connexité (bis)

Bonjour,
S'il vous plaît, pourquoi sur le lien suivant, http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,2300634 , $ \mathcal{C} $ s'identifie à $ F $ ?
Merci d'avance.

Réponses

  • Voici l'idée que propose de suivre,
    $ \mathcal{C} = f^{-1} ( \{ 0 \} ) $ où, $ f(a,b,c) = x^2 + y^2 + ax+by+c $.
    Pour montrer que $ \mathcal{C} $ est connexe, Il suffit de montrer que, pour tous deux points $ ( a_1 , b_1 , c_1 ) , (a_2 , b_2 , c_2 ) \in \mathcal{C} $, il existe un chemin continu $ \gamma \ : \ [0,1] \to \mathcal{C} \ $ défini par, $ \gamma (t) = (a(t) , b(t) , c(t) ) = (a,b,c) (t) $, pour tout $ t \in [0,1] $, tel que, $ \gamma (0) = (a_1 , b_1 , c_1 ) $ et $ \gamma (1) = (a_2 , b_2 , c_3 ) $.
    D'où, $ \mathcal{C} $ est connexe par arcs, et par conséquent, $ \mathcal{C} $ est connexe.
    Cordialement.
  • Il suffit de prendre $ \gamma \ : \ [0,1 ] \to \mathcal{C} $ égale à $$ \gamma (t) = x^2 + y^2 + ((1-t) a_0 + t a_1 ) x + ((1-t) b_0 + t b_1 ) y + ((1-t) c_0 + t c_1 ) $$

    Edit,
    Non. $ \gamma (t) = ( (1-t) a_0 + t a_1 ) , (1-t) b_0 + t b_1 ,(1-t) c_0 + t c_1 ) $.
  • Poirot,
    C'est Shtam qui doit porter le nom : Analyse, et changer le nom du forum : Analyse en Shtam en réalité. L'injustice est l'essence de la vie terrestre. ça ne m'étonne pas.

    [Pablo. L'auteur du message initial demande seulement une indication et tu voudrais débarquer avec ta solution complète ! AD]
  • Pablo_de_retour écrivait:
    > Voici l'idée que propose de suivre,
    > $ \mathcal{C} = f^{-1} ( \{ 0 \} ) $ où, $f(a,b,c) = x^2 + y^2 + ax+by+c $.


    Peux-tu préciser un peu l'application $f$ ? En particulier, quel est clairement son ensemble d'arrivée?
    .
  • Il me semble que l'ensemble d'arrivée de $ f $ est $ \mathcal{C} $. Non ? Donc, c’est faux de dire que, $ \mathcal{C} = f^{-1} ( \{ 0 \} ) $. Merci.
  • Non mais en fait le lien de départ manque déjà de clarté...
    Si $\mathcal{C}$ est bien l'ensemble des cercles du plan, vérifier la connexité de $ \mathcal{C} $ n'a de sens qu'après y avoir défini une topologie...
    .
  • @Zig,
    Il me semble que la notion de connexité par arcs n'est pas une notion topologique, mais une notion homotopique.
  • Ah? Et la continuité, c'est pas une notion topologique ? ;)
  • Je te laisse réfléchir à cette phrase : tour espace grossier est connexe par arcs.
    .
  • Zig a écrit:
    tout espace grossier est connexe par arcs.

    ça veut dire que tout espace à deux ouverts est connexe par arcs. Oui, la connexité par arcs incorpore un peu de topologie. :-)
  • Zig : tu connais Pablo un peu, ou pas ?
  • Homo Topi : oui... je me suis dit, mais un peu tard, mais que diable allais-je faire dans cette galère ^^
  • Pablo : lorsqu'on lit un cours de topologie (c'est toujours dans les cours de topologie qu'on trouve la définition de connexité par arcs, étrangement...), on lit qu'un espace $X$ est dit connexe par arcs dès que deux points $x$ et $y$ de $X$ peuvent être reliés par un chemin continu $\gamma : [0~;~1] \longrightarrow X$. C'est-à-dire que $\gamma(0)=x$, $\gamma(1)=y$, et $\gamma$ est une application continue. Et la définition de continuité dépend d'une topologie sur $X$.

    Tu te débrouilles presque bien dans tes fils à l'extérieur du Shtam. Commence à lire des vrais cours écrits par des vrais mathématiciens confirmés dans des vrais bouquins de maths et tu progresseras peut-être un peu. Mais dire des choses comme "ce n'est pas topologique, c'est homotopique", c'est ton toi habituel qui ressort. Un truc "homotopique" est relié à la notion d'homotopie, et une homotopie c'est une déformation continue d'applications continues. Et là encore, la définition d'homotopie, c'est dans un cours de topologie (algébrique, mais quand même) qu'on la trouve.
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