Espace vectoriel des fonctions étagées

MaxCartan · September 2021

Bonjour
Je cherche à montrer que l'ensemble des fonctions étagées est un espace vectoriel.
J'ai exploré deux méthodes.

1) Stabilité par multiplication par un scalaire, et par +.
La stabilité par multiplication par un scalaire ne m'a pas posé de problème.
Par contre je n'arrive pas à construire ma démonstration, je pense que le raisonnement tient la route, mais je n'arrive pas à conclure.

2) Montrer que l'ensemble des fonctions étagées $= Vect( 1_A ,\ A \in T)$ (J'ai vu la preuve dans une vidéo de Maths Adulte).
Le première inclusion est évidente par la définition d'une fonction étagée, cependant je ne comprend pas l'inclusion réciproque.

J'ai joint un fichier où j'explique les problèmes/incompréhensions auxquels je fais face pendant la preuve.
En espérant que vous puissiez me venir en aide.
Merci d'avance.

nicolas.patrois · September 2021

C’est quoi, une fonction étagée ? Une fonction constante par morceaux (sur des intervalles) ?
Si oui, travaille sur les intervalles où tes deux fonctions sont constantes.

MaxCartan · September 2021

Je me base sur cette définition de mon cours où $T$ est une tribu sur $X$. Comme noté de le fichier que j'ai joint.

Une fonction étagée est une fonction $f: X \to {\R}$ de la forme : $\sum_i a_i\ \mathrm{indicatrice}(A_i).$
i) La somme a un nombre fini de termes,
ii) $a_i$ un réel pour tout $i$,
ii) $A_i$ un élément de $T$ la tribu sur $X$ pour tout $i$.

nicolas.patrois · September 2021

Tu prends l’intersection de chaque paire $A_i$ (pour $f$) et $B_j$ (pour $g$) et si elle n’est pas vide, tu définis la somme sur l’intersection. De cette manière, tu vas définir la fonction somme sur la réunion de toutes ces intersections non vides.

Espace vectoriel des fonctions étagées

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