Définition des mathématiques et langues

Les mathématiques sont in fine l'étude de suites (finies) de symboles, en particulier celles qu'on peut produire par applications d'un nombre fini de règles explicites convenues à l'avance.

Bonjour.

À part sur le mot entre parenthèses dans le message de Foys, je suis d'accord avec lui.

À bientôt.

GG, je plussoie : C'est confondre sa propre façon d'étudier les mathématiques avec les mathématiques elles-même.

Cordialement.

Non pas que j'aie une définition satisfaisante à proposer, mais, je ne suis pas convaincu par les différentes propositions. La première peut aussi bien définir la médecine et la deuxième la linguistique. Il y a besoin de définir le cadre de cette étude (les mathématiques) et l'on tourne en rond.

Une remarque tout de même: il me semble important que la définition précise qu'en mathématiques on ne fait pas qu'étudier les patterns, on choisit nous même les règles qui vont les créer. Derrière les sciences physiques il y a souvent la croyance d'une loi universelle à découvrir, en mathématiques nous définissons les lois universelles. C'est meilleur pour l'ego.

La définition de Foys me semble bonne puisqu'elle traduit réellement ce que sont des énoncés et des preuves mathématiques. (C'est juste que personne n'a jamais le courage d'enlever toutes les abréviations et revenir aux "briques élémentaires" sinon les énoncés feraient $10^{10}$ pages.)

Une autre façon peut être est de dire, comme les anglo-saxons, que les mathématiques sont du '"ifthenism" (lire if-then-ism) où le ism final est le suffixe classique qu'on retrouve dans toutes les disciplines. Autrement dit les mathématiques sont l'étude générale du "si alors", c'est à dire de l'implication. Avec cette définition, une bonne partie de la "philosophie" rentre dans les mathématiques puisqu'on peut étudier des implications sans forcément utiliser un langage symbolique traditionnellement associé aux mathématiques.

Cyrano,
il me semble que ce que tu décris c'est un sur-ensemble contenant les mathématiques.

A savoir le raisonnement logique en général ( qu'il soit déductif ou inductif et probabilisé).

Les mathématiques supposent, il me semble, que ce raisonnement s'applique à un certain type d'objet : ceux consistants en des configurations abstraites, à l'exclusion de toute réalité du monde sensible (c'est l'objet des différentes sciences) ou de mots du langage (c'est l'objet de la philosophie).

Bien sûr, on peut affirmer que les raisonnements scientifiques ou philosophiques doivent pour exister être d'abord traduits en langage mathématique et que donc toute logique est mathématique, mais c'est quelque chose à quoi tout le monde ne s'accordera pas.

Cordialement

J'ai l'impression d'entendre certains de mes profs bourbakistes vers 1970, qui eux aussi confondaient leur façon de travailler avec le contenu de la discipline.
"C'est un serpent" disait le premier aveugle.
"C'est un pilier" disait le deuxième.
Etc.

Cordialement

GG la grande différence c'est que Zola et Balzac laissent une pensée, une vision du monde.
Les mathématiques ne laissent pas de vision propre aux mathématiciens et en cela Foys a raison. Que Godel ait prouvé ou non le théorème qu'on lui attribue par son nom on s'en fout, car il n'offre pas une vision propre mais s'inscrit dans une idée supra-individuelle.

Il faut oser le dire : pourquoi tant de mathématiciens ne connaissent rien à l'histoire des mathématiques ? Car faire des mathématiques c'est ce que dit Foys.

Baylock : est-ce que, au fond, toutes les sciences n'étudient pas ces fameux "paterns" ? Quand on énonce la conservation de l'énergie mécanique n'est-ce pas après avoir observé ce patern se produire sur une myriade de systèmes mécaniques (sauf si l'on fait de la mécanique lagrangienne mais dans ce cas on énonce d'autres principes : moindre action, invariance temporelle...) ? Quand Darwin propose sa théorie de l'évolution est-ce que ce n'est pas après avoir observé le même patern se répéter : l'adaptation des populations animales à leur milieu ?

Si je devais choisir une seule définition je me rangerais du côté de Foys. J'explique à mes étudiants de première année que faire des mathématiques c'est faire des démonstrations, rien de plus, rien de moins. C'est une vision que je trouve moi même réductrice et biaisée. Quand on fait des raisonnements heuristiques, qu'on énonce des conjectures ou des définitions on est aussi en train de faire des mathématiques selon moi. Autre bémol à la définition de Foys, ces "règles convenues à l'avance" ne sont pas quelconques dans la pratique : il y a des raisons profondes pour lesquelles on étudie les structures de groupe et pas des structures définies par des lois choisies au hasard.

Heureusement la question de savoir ce que sont les mathématiques est plus une question de philosophie que de mathématique et, étant plus mathématicien que philosophe, ne pas avoir de réponse ne m'empêche ni de dormir la nuit ni de faire des mathématiques le jour... Ou l'inverse ;-)

gerard0 a écrit:

J'ai l'impression d'entendre certains de mes profs bourbakistes vers 1970, qui eux aussi confondaient leur façon de travailler avec le contenu de la discipline.

Est-ce que tu connais ma façon de travailler? Et puis est-ce que tu connais assez l'ensemble des mathématiques pour te permettre de tels procès d'intention Gérard?

Ca va être la journée des portes ouvertes (qu'on enfonce).

On a deux définitions d'un machin:
(i) un "machin" est quelque chose qui vérifie A1
(ii) un "machin" est quelque chose qui vérifie A1,A2,A3 et A4.

La collection des objets qui vérifient A1,A2,A3 et A4 est contenue dans celle des objets qui vérifient A1.
Donc c'est bien la définition (i) qui est moins réductrice que la définition (ii) et non le contraire.

Mais il y a une armée de gens qui brandissant leur antilogisme, croient (font semblant de croire) qu'en ajoutant des clauses (des contraintes) on élargit la portée d'une définition. Il faut le lire sur un forum de mathématiques pour le croire.

Ce que j'ai proposé a vocation à s'appliquer à toutes les mathématiques telles que nous les connaissons et non à des sous-activités spécifiques (dessins, séances de logiciel spécifique ou que sais-je). Cette définition est la plus inclusive possible en réalité (tout en soulignant le fait que l'arbitrage de ce qu'est une production mathématique correcte est trivial une fois les apparences dissipées, et non pas un acte complexe réalisable uniquement par des experts)

Prenons un exemple : la définition d'un groupe (un monoïde où tout élément est inversible - ou la variante équivalente que vous voudrez). Cette définition a vocation à s'appliquer à tous les groupes.
Parmi les groupes il y a $(S_n,\circ)$, $(\Z,+)$, $\mathbf S^3$ (vu comme sous-groupe des quaternions), le groupe additif d'un anneau, le sous-groupe additif d'un espace vectoriel, et des centaines d'autres situations dont beaucoup sont inconnues de l'auteur (je suis loin d'être au courant de toute l'activité mathématique existante mais qui peut l'être ?).
Bah ce qui se passe dans ce fil, c'est comme si quelqu'un débarquait et déclarait "je suis contre la définition générale des groupes car elle ne rend pas assez compte de ce qui se passe dans mon métier : l'étude des groupes de Lie et leurs représentations".

Pour prendre un autre exemple, si on devait se risquer à donner une définition du sport (s'appliquant à tous les sports existants), un candidat raisonnable serait "activité physique".
On ne peut reprocher à cette définition d'être réductrice sous prétexte qu'elle ne prend pas assez en compte la réalité spécifique de certains sports ("je fais de la natation pour être et rester en bonne santé et ceci est nié par cette définition" alors que cette définition doit aussi inclure par exemple la boxe ; or les boxeurs vieillissent mal en général, sauf quand ils évitent combats et sparrings ce qui n'est pas vraiment dans l'esprit de ce sport).
Quelqu'un va s'indigner de ce que "je suis contre la définition de sport comme activité physique car elle ne donne pas une image réaliste de mon sport : l'escalade" : pour comprendre l'escalade, il faut plutôt s'intéresser à ce sport spécifiquement et le pratiquer au lieu de se baser sur une définition qui est aussi censée s'appliquer à la natation et à la boxe, entre autres.

Héhéhé a écrit:

Je suis prêt à parier que les standards de formalisme et de rigueur changeront encore au cours du temps

La thèse de Church-Turing est un phénomène naturel (cf par exemple l'article de Gandy où il la prouve sous des hypothèses minimalistes ; sa réfutation serait la découverte la plus ahurissante de toute l'histoire des sciences) et mon propos n'est qu'une reformulation de l'idée que les maths sont l'art de fournir, étant donné un appareil qui prend des suites de bits en entrée et en renvoie d'autres, une suite de caractères qui lui fera afficher la réponse "0". En particulier

Héhéhé a écrit:

(on peut par exemple imaginer qu'une démonstration non validée par ordinateur sera considérée comme non recevable).

Ce propos va dans mon sens. Une preuve est effectivement un fichier informatique (une suite finie de symboles, par exemple 1 ou 0) déclaré valide par un logiciel spécifique.

...
Mais c'est pldx1 qui est de retour! Après plusieurs mois d'absence et d'abstinence il revient parmi nous plus aigri que jamais.
Quelle surprise j'étais mort d'inquiétude.

pldx1 a écrit:

Quant à ceux qui FONT, professionnellement, des mathématiques, ils savent bien que leur activité consiste à :

1.trouver des financements
2.trouver des résultats
3.trouver des preuves
4.vérifier qu'une preuve donnée prouve un résultat donné

Et par conséquent, enseigner les mathématiques consiste à former des étudiants à chacune de ces quatre activités.

La seule chose qui s'enseigne réellement est le point 4, et cela passe par l'énonciation explicite d'une définition précise (opérante) de ce qu'est une "preuve" qui "prouve un résultat donné". Autrement dit une définition telle que celle que j'ai donnée.
Pour ce qui est des autres points, je me demande où tu as vu des formations où on apprend aux mathématiciens à trouver de l'argent par exemple (point 1). Quant à 3, l'existence de moyens systématiques pour trouver des preuves est elle-même réfutée par des théorèmes mathématiques (s'il y a bien un enseignement à tirer de l'informatique théorique c'est celui-là, c'est la première chose que les étudiants de cette discipline devraient apprendre au lieu d'intérioriser le poncif débile et faux suggérant que les théorèmes d'incomplétude de Gödel interdisent la formalisation des mathématiques).

Foys : Je ne connais de toi que ce que tu produis sur le forum et je parle évidemment de l'impression que tu donnes. Si elle est fausse, c'est ton problème !

Bravo à Héhéhé !

Est-ce le langage qui structure la pensée, ou bien la pensée qui structure le langage?
Les mathématiques n'existent pas sans axiomes, et les axiomes n'éclosent pas du néant.
Qu'est-ce qui préexiste aux axiomes? La pensée? Le langage? L'intuition? La logique?
Le ver est dans le fruit. Digérons le!

Bonjour

j'ai cette année en math des élèves du lycée, lorsque l'un d'entre eux me pose la question :

qu'est que la mathématique ? (je dois répondre comme l'élève en bon français) voici ce que je propose :

La mathématique est l’étude précise et exhaustive des grandeurs et des figures.
Trois notions dominent la mathématique : ordre, mesure, quantité.
D’une façon imagée on dira que la mathématique est « l’art de trouver un ordre au désordre apparent ».

en général je ne vais pas plus loin et l'élève est satisfait !

Cordialement

Moi qui m'y remets, j'adhère avec la définition anglo-saxonne donnée par Baylock que je traduis par la science qui étudie les interactions.

J'aime beaucoup l'image de Jean Lismonde : L'art de trouver un ordre au désordre apparent.

C'est un art, oui.

A un élève qui me poserait la question, je pourrais dire la même chose, mais je répondrais aussi par une question : Pourquoi dit-on les mathématiques, et pas la mathématique.