Polynôme de Lagrange
Bonsoir,
Je ne comprends pas l'exercice. Je ne comprends ce que signifie qu'un polynôme converge :-S
On cherche un polynôme $p$ qui vérifie $p(-1)=a;\ p'(-1)=b;\ p(1)=c$ où $a,b,c$ sont 3 réels fixés.
Pour cela on considère $0<\epsilon<1$ et on considère le polynôme d'interpolation $p_\epsilon$ qui vérifie $p_\epsilon(-1)=a, p_\epsilon(-1+\epsilon)=a+b\epsilon, p_\epsilon(1)=c $
1) Montrer que $p_\epsilon$ converge et déterminer cette limite.
2) Conclure : c'est-à-dire montrer que cette limite répond à la question 1).
3) La solution trouvée en 2) est-elle unique ?
Je ne comprends pas l'exercice. Je ne comprends ce que signifie qu'un polynôme converge :-S
On cherche un polynôme $p$ qui vérifie $p(-1)=a;\ p'(-1)=b;\ p(1)=c$ où $a,b,c$ sont 3 réels fixés.
Pour cela on considère $0<\epsilon<1$ et on considère le polynôme d'interpolation $p_\epsilon$ qui vérifie $p_\epsilon(-1)=a, p_\epsilon(-1+\epsilon)=a+b\epsilon, p_\epsilon(1)=c $
1) Montrer que $p_\epsilon$ converge et déterminer cette limite.
2) Conclure : c'est-à-dire montrer que cette limite répond à la question 1).
3) La solution trouvée en 2) est-elle unique ?
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Réponses
On a l’impression que l’on parle de la limite quand $\varepsilon$ tend vers $0$.
Quant au type de convergence, l'énoncé est volontairement imprécis et cela ne doit pas poser de problème.
De tout façon, pourquoi tu soulèves un problème avant d'avoir calculé $p_\epsilon$?
Oui vu que $\varepsilon$ est petit.
On a $\boxed{P_{\varepsilon} (X)=a \dfrac{(X-1)(X+1-\varepsilon)}{2 \varepsilon} + (a+b \varepsilon) \dfrac{(X-1)(X+1)}{ \varepsilon (\varepsilon-2)} +c \dfrac{(X+1)(X+1-\varepsilon)}{2(2- \varepsilon)}}$
En plus là il y aurait tant une approche en considérant qu'il s'agit d'une suite de fonctions (convergence simple, uniforme, etc.) qu'en considérant que nous avons une suite de polynômes (de degré au plus 2, donc de ce point de vue on pourrait prendre la norme que l'on veut)
Bref, moi j'aurais tendance à dire que la question 1 est très imprécise, même si moi je la comprends effectivement avec $\varepsilon \to 0 ^+$ et en terme de convergence simple.
Je ne sais pas quoi faire du polynôme que j'ai trouvé.
Question: A t-on besoin d'un $\varepsilon$ pour déterminer un polynôme qui vérifie les conditions? Question 2: a t-on unicité? Question 3: l'exercice est-il utile?
Concernant ta question 3, de façon générale (et pas forcément en math) faire un exercice est-ce vraiment utile?
Maintenant approcher la solution d'un problème par une suite c'est très fréquent et souvent très utile car certaines propriétés de la suite peuvent passer à la limite.
Comme ici avec l'aide de l'erreur de l'interpolation polynomiale (qui est assez connue) par passage à la limite on peut récupérer facilement l'erreur d'interpolation d'une fonction f assez régulière sur $[-1,1]$ qui vérifie $f(-1)=a;f'(-1)=b$ et f(1)=c. $
Un bon conseil, fais-le en exercice.
On n'est pas à l'école, ni des gamins en culottes courtes.
Alors tu regardes, d'abord si il y a convergence simple. Si éventuellement tu vois une autre convergence tu le fais ou pas...
Tiens OS, sans résoudre l'exercice et sans expliciter el famoso polynôme, tu saurais me montrer qu'il existe ?
Par exemple en posant $x_1=-1, x_2=-1+\epsilon, x_3=1,$ pour une fonction $f$ de classe $C^3$ sur $[-1,1], $ il existe $\xi \in[-1,1]$ telle que
$f(x)-p(x) =\dfrac{f^{3}(\xi)}{3!}(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3),$ où $p$ est le polynôme de degré au plus 2 qui interpole $f$ aux points $x_i=1,...,3$
Soit donc une fonction de classe $C^3$ sur $[-1,1]$ et $p$ le polynôme de degré au plus 2 qui vérifie $p(-1)=f(-1)=a;p'(-1)=f'(-1)=b$ et $p'(1)=f'(1)=c. $ (i.e p est le polynôme limite de l'exercice.)
En exercice tu demandes surement à tes élèves de démontrer qu'il existe il existe $\xi \in[-1,1]$ t.q $f(x)-p(x) =\dfrac{f^{3}(\xi)}{3!}(x-x_1)^2(x-x_3). $
P.S c'est clair aussi qu'on peut généraliser et retrouver la formule d'interpolation de Hermite.
$P_{\varepsilon} (x)=\dfrac{ a(x-1)(x+1-\varepsilon)(\varepsilon-2)+2(a+b \varepsilon)(x-1)(x+1)-c \varepsilon(x+1)(x+1-\varepsilon)}{2 \varepsilon (\varepsilon-2)}$
Je ne trouve pas la limite quand $\varepsilon$ tend vers $0$.
Et puis réfléchis, sérieux ! On cherche la limite en 0 qui est un pôle (simple). Donc si la limite est finie, c'est que 0 est racine (au moins simple) du numérateur aussi donc il faut mettre ça en évidence... Tu découvres encore l'eau chaude, c'est navrant.
Sinon, tout développer le numérateur, mais le calcul a l'air immonde.
Ce qui est "immonde", c'est de ne pas être capable de le développer en $5$ mn, quand on a eu le CAPES. Et tu peux te limiter aux termes de degré au maximum $1$ en $\epsilon$.
Cordialement,
Rescassol
Une idée : si j'ai raison, 0 est racine du numérateur et ça, c'est facile à voir. Ca peut ensuite te motiver à aller plus loin dans les calculs. Maintenant, si ta motivation est freinée par si peu, je ne comprends toujours pas pourquoi tu fais des maths, pourquoi tu es prof de maths,...
Bon d'abord perso je n'aurai pas réduit au même dénominateur l'expression de $p_\epsilon$
Mais vu que tu l'as fait, tu pourrais partir de là. Par rapport à $\epsilon$ ton expression est un polynôme de degré 2 "en haut" et idem "en bas."
Bon alors, c'est pas possible que ne saches pas le faire...
$P_{\varepsilon} (x)=\dfrac{ (x-1)(x+1) \left( (3-\varepsilon)a -c \right) + c \varepsilon }{2(\varepsilon-2)}$
Au voisinage de $0$, on a $\varepsilon -2 \sim -2$ donc $P_{\varepsilon} (x) \sim \dfrac{ (x-1)(x+1)(3a-c) }{-1}$
Finalement $P_{\varepsilon}$ converge simplement et $\boxed{\lim\limits_{\varepsilon \rightarrow 0^{+}} P_{\varepsilon} =\dfrac{ (x-1)(x+1)(c-3a)}{4}}$
Je ne vois pas le rapport avec Q2 :-S
Typiquement, tu n'as plus de termes en $b$ alors qu'il n'y a pas de simplification possible, tu l'as fait disparaitre comme par magie. Ca ne nécessite pas non plus une grosse intelligence de remarquer cela.
Edit : grillé
Avec un minimum de bon sens on a $p_\epsilon(1)=c$ pour tout $\epsilon.$
On doit s'attendre à ce que la limite $p$ vérifie $p(1)=c$
Je trouve après des calculs horribles que :
$P_{\varepsilon} (x)=\varepsilon \dfrac{(x-1)(x+1) (a +2b)+ (x-1) (-a \varepsilon+2a)+(x+1) c \varepsilon-c(x+1)^2}{2 \varepsilon(\varepsilon-2)}$
D'où : $P_{\varepsilon} (x)=\dfrac{(x-1)(x+1) (a +2b)+ (x-1) (-a \varepsilon+2a)+(x+1) c \varepsilon-c(x+1)^2}{2 (\varepsilon-2)}$
Au voisinage de $0$ on a $P_{\varepsilon}(x) \sim \dfrac{ c(x+1)^2-2a(x-1)-(a+2b)(x-1)(x+1)}{4}$
Notons $\boxed{p(x)=\dfrac{ c(x+1)^2-2a(x-1)-(a+2b)(x-1)(x+1)}{4}}$
On a clairement $p(-1)=a$ et $p(1)=c$.
Calculons $p'(x)$. On a $p'(x)=\dfrac{2c(x+1)-2a-2x(a+2b)}{4}$
On a clairement $p'(-1)=b$
Le polynôme $P_{\varepsilon}$ converge simplement vers le polynôme $p$ défini par $p(x)=\dfrac{ c(x+1)^2-2a(x-1)-(a+2b)(x-1)(x+1)}{4}$.
Question bonus super super hard : trouver l'ensemble de toutes les solutions.
Tu peux trouver.
Après cette question , j'ajoute donc de retrouver la formule d'erreur que j'ai citée ci-dessus, formule d'erreur à déduire de la formule d'erreur de l'interpolation polynomiale (formule surement vue en cours).
Attention pas de calcul mais un peu de raisonnement.
bd2017 tu devrais connaître OShine mieux que moi.
Je parie qu'il ne saura répondre à aucune des deux questions sans aide.
Les paris sont ouverts : celui qui perd chantera les louanges de Pablo_de_retour. B-)-
Tu aurais pu écrire plus simplement : je ne pense pas. C'était plus conforme.
Je ne pense pas, mais je suis (du verbe suivre).
Dans un sujet ils l'auraient expliquée.
Mais il faut trouver l'ensemble des polynômes solutions. Tu peux le faire!
Tu dois le faire !
Je sais jouer la musique mais quant à chanter les louanges de Pablo je n'ai pas envie§
On a $Q(-1)=a$ donc $d-e+f=a$
Puis $Q'(-1)=-2d+e=b$ enfin $Q(1)=c$ donc $d+e+f=c$
On a le système suivant $\begin{cases}
d-e+f=a\\
-2d+e=b\\
d+e+f=c
\end{cases}$
On trouve $\boxed{Q(x)=\dfrac{c-a-2b}{4} x^2+\dfrac{c-a}{2}x+\dfrac{3a+c+2b}{4}}$
Inutile d'insister. Voici la solution.
Soit $p_0=lim_{\epsilon \rightarrow 0} p_\epsilon$ la solution trouvée précédemment.
La solution générale de l'équation $p(-1)=a, p'(-1)=b, p(1)=c$ dans $p\in\R[X]$
est donc donnée par
$$p(x)=p_0(x)+q(x)(x+1)^2(x-1),\qquad q\in \R[X].
$$ C'est-à-dire somme d'une "solution particulière + solution de l'équation homogène associée".
$p_0$ est l'unique solution de degré au plus 2 et cela tu pouvais le voir avec ton dernier calcul (trois inconnues, trois équations indépendantes...).
Ou est l'équation différentielle ?
C'est le sens de la solution générale donnée par bd2017.
On ajoute à cette solution particulière de degré 2 des solutions r(x) telles que $r(-1)=r(1)=0$ et $r'(-1)=0$.
Ces solutions sont de la forme $r(x)=q(x)(x+1)^2(x-1)$ (Je te laisse montrer pourquoi)
Tu te souviens l'exercice du Griffone sur les suites récurrentes linéaires avec lequel tu nous avais cassé les pieds ? C'était pas la même morale ? Elle était où l'équation différentielle ? Nulle part non ?
Et faire un raisonnement du type "soient P et Q deux solutions" et remarquer que P - Q vérifie des propriétés faciles ? Non ? Trop dur ça encore bah oui hein faut prendre une initiative. Pas comme si on faisait ça 95% du temps dès qu'on parle de trouver toutes les solutions, surtout niveau bac +2...
La situation générale est la suivante : tu as deux espaces vectoriels $E,F$ (réels disons, mais le corps de base n'a pas d'importance) et une application linéaire $f:E\to F$. Supposons que pour un $x\in F$ donné, tu as réussi à trouver un antécédent donc un $v\in E$ tel que $f(v)=x$. La question est de trouver tous les vecteurs qui vérifient cette égalité, donc tous les vecteurs $w\in E$ tels que $f(w)=x$.
L'ensemble des solutions est donné par $v+\ker{f}$. C'est facile à démontrer et tu peux essayer de le faire si tu as compris ce que j'ai écrit ci-dessus. C'est en appliquant ce résultat général qu'on trouve toutes les solutions de ton exo ainsi que les solutions des équations différentielles linéaires.
Montrons que $\mathcal S=v+ \ker (f)$
Je n'ai réussi à montrer aucune inclusion.
Soit $w \in \mathcal S$. Alors $f(w)=x$. Je bloque ici.
$u$ et $v$ deux solutions de $f(x)=y $
c'est équivalent à dire que
$f(u)-f(v)= f(u-v)=0 $
c'est-à-dire $u-v\in \ker(f)$
P.S. Après ce post t'attaquer aux hyperplans d'e.v.n qui peuvent être de dimension infinie... ce n'est pas un peu risqué ?