Automorphismes de $ \mathbb{C}^2 $
dans Algèbre
Bonjour,
Pourquoi $ \mathrm{Aut} ( \mathbb{C}^2 ) = \mathbb{Z} / 2 \mathbb{Z} $ ?
Merci d'avance.
Pourquoi $ \mathrm{Aut} ( \mathbb{C}^2 ) = \mathbb{Z} / 2 \mathbb{Z} $ ?
Merci d'avance.
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Réponses
Pour une fois que tu poses des vraies questions de maths (je te félicite pour ça, honnêtement), essaie d'y réfléchir par toi-même.
f est linéaire, tu peux essayer de trouver f(1) et f(i)
J’ajoute que je trouve malveillant (pour lui !) de lui répondre sauf si on ne le connaît pas dans ses agissements.
Soit $ \mathcal{B} = \{ e_1 , e_2 \} $ une base de $ \mathbb{C}^2 $.
Soit $ \varphi \in \mathrm{Aut} ( \mathbb{C}^2 ) $.
Alors, $ \varphi $ s'identifie à la donnée, des deux vecteurs, $ \varphi ( e_1 ) $ et $ \varphi (e_2 ) $ dans l'ensemble d'arrivée $ \mathbb{C}^2 $.
Comme l'ensemble d'arrivée $ \mathbb{C}^2 $ est engedré par les deux vecteurs $ e_1 $ et $ e_2 $ de la base $ \mathcal{B} $, alors, on a nécessairement,
- $ \varphi (e_1) = e_1 $ et $ \varphi (e_2 ) = e_2 $
ou bien,
- $ \varphi (e_1) = e_2 $ et $ \varphi (e_2 ) = e_1 \ \ \ \ \ $ (2)
D'où,
- $ \varphi = \mathrm{id} $
ou bien,
- $ \varphi $ est défini par $ (2) $.
Par conséquent, $ \mathrm{Aut} ( \mathbb{C}^2 ) = \mathbb{Z} / 2 \mathbb{Z} $.
Est ce que c'est ça ?
Merci d'avance.
Tout automorphisme de $ \mathbb{C}^2 $ est soit l'identité, soit une deuxième et dernière possibilité. Relis doucement ce que j'ai écrit.
On en est encore là...
Merci d'avance.
Ne crois pas que tu peux nous parler comme ça juste parce que nous, on te parle comme ça. Nous, on le fait en réaction à ton comportement sur ce forum depuis des années, parce que tu persistes dans l'erreur et l'absurde tout en prenant les gens de haut. Si tu continues à me parler comme ça, j'arrêterai de t'aider... tu n'auras pas tenu longtemps hors du déni de ton propre niveau en mathématiques, c'est dommage.
Homo Topi j'avoue que là je ne te comprends pas. Tu fais ce que tu veux naturellement mais l'aide dont a besoin Pablo est une autre...
De plus son expression "relire doucement" il l'a surement piquée à CC. Je crois que c'est lui qui parfois demande de relire ses post lentement ou doucement car ils sont notoirement incompréhensibles.
Après si c'est pour passer le temps alors c'est une autre histoire.
Oui, je comprends maintenant,
$ \varphi $ s'identifie ou bien à l'identité à isomorphisme près, ou bien à l'automorphisme défini par la donnée de deux conditions suivantes, $ \varphi (e_1 ) = e_2 $ , et $ \varphi (e_2 ) = e_1 $, à isomorphisme près aussi. Est ce que c'est ça ? Donc, j'ai corrigé en ajoutant l'expression, à isomorphisme près.
1) C'est quoi un isomorphisme d'applications ?
2) Combien de bases $\C^2$ possède-t-il ?
- Un isomorphisme d’applications est un carré commutatif d'applications, indiquant s'il s'agit ou bien de deux matrices semblables ou bien de deux matrices équivalentes. Je ne me souviens pas exactement.
- $ \mathbb{C}^2 $ possède une infinité de bases.
Un automorphisme $ \varphi $ de $ \mathbb{C}^2 $ agit sur une base $ \mathcal{B} = \{ e_1 , e_2 \} $ par l'action naturelle, $ \rho \ : \ \mathrm{Aut} ( \mathbb{C}^2 ) \times \mathcal{B} \to \mathcal{B} $ définie par, $ \rho ( \varphi , e_i ) = \varphi (e_i) $ pour $ i = 1,2 $.
Je crois plutôt que Pablo doit apprendre à fonctionner tout court... http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?43,2301022,2301022#msg-2301022
Aide moi un peu Homo Topi. Je n'arrive pas à trouver la bonne définition en relation avec l'action $ \rho $.
Complète la phrase : Si $L : E \longrightarrow F$ est linéaire et bijective, alors $L$ envoie une base de $E \dots$
En fait, je travaille dans le cadre des $ C^* $ -algèbres.
On a, $ \mathbb{C}^2 = C ( \{ 0 ,1 \} , \mathbb{C} ) $, et $ C ( \{ 0 ,1 \} , \mathbb{C} ) $ l'espace des $ \mathbb{C} $ - valued fonctions qui sont continues sur $ \{ 0 , 1 \} $, est une $ C^* $ - algèbre commutative.
Donc, $ \mathbb{C}^2 $ a ici, une structure de $ C^* $ - algèbre.
Il y en a plus que $ 2 $ automorphismes ( Voir une infinité ), mais, on peut les classer en deux classes d'équivalence par la relation d'équivalence $ \sim $, définie par,
Pour tout $ f $ et $ g $ deux automorphismes de $ \mathbb{C}^2 $, $ f \sim g $ si et seulement si $ f $ et $ g $ sont isomorphes.
Merci d'avance.
Les automorphismes de la $\mathbb C$-algèbre $\mathbb C \oplus \mathbb C$ permuttent les idempotents centraux primitifs: il n'y a que deux automorphismes.
Si on tient compte de la structure étoile, je ne sais pas car je ne connais rien aux $\mathbb C$*-algèbres, pas réussi à déterminer combien il y avait de telles structures possibles sur $\mathbb C \oplus \mathbb C$. Mais quoiqu'il arrive, il n'y aura qu'au plus deux automorphismes.
Explique moi pourquoi $ \mathrm{Aut} ( \mathbb{C}^2 ) = \mathbb{Z} / 2 \mathbb{Z} $ lorsque $ \mathbb{C}^2 $ est muni d'une structure de $ C^* $.- algèbre.
Merci.