Espérance de matrices de la forme $X Y^\top$

Noveang
Noveang
dans Probabilités, théorie de la mesure
Bonjour
J'essaye d'aboutir sur un calcul maintes fois attaqué, et sur lequel je viens tout juste de progresser. Pour vous donner le cadre, nous disposons d'une famille de vecteurs gaussiens standards indépendants $Y_1, \dots, Y_k$, et je m'intéresse à l'espérance de la matrice suivante :
$$
M_{i,j} = \dfrac{Y_i^\top C_{i,j} Y_j}{\|Y_i\|_2 \|Y_j\|_2}
,

$$ où les matrices $C_{i,j}$ sont données et déterministes. Ce que j'aimerais montrer, et qui semble se vérifier numériquement, c'est que l'espérance des coefficients extra-diagonaux est nulle, i.e. $\mathbb{E}(M_{i,j}) = 0$, pour $i \neq j$.

Très concrètement, c'est le point sur lequel je requiers votre aide. Pour vous donner l'état actuel de mon raisonnement, en utilisant l'astuce de la trace, on obtient
$$
\dfrac{Y_i^\top C_{i,j} Y_j}{\|Y_i\|_2 \|Y_j\|_2} = \text{tr}\left( \dfrac{Y_i^\top C_{i,j} Y_j}{\|Y_i\|_2 \|Y_j\|_2} \right) = \text{tr}\left( \dfrac{Y_j}{ \|Y_j\|_2} \dfrac{Y_i^\top}{\|Y_i\|_2} C_{i,j}\right).


$$ Ainsi, le passage à l'espérance revient à se demander si $\mathbb{E}(X Y^\top) = 0$, pour $X, Y$ des vecteurs gaussiens normalisés et indépendants. J'ai essayé avec le théorème de l'espérance totale, mais on obtient,

Finalement, je pense avoir répondu à ma question. Est-ce que quelqu'un pourrait me confirmer le calcul suivant :
$$
\mathbb{E}(X Y^\top) = \mathbb{E}(\mathbb{E}(X Y^\top \mid Y)) = \mathbb{E}(\mathbb{E}(X) Y^\top).

$$ Or, puisque $X$ est normalisé, il n'est plus évident (ni même vrai ?) que $\mathbb{E}(X) = 0$.
Merci d'avance,
Noveang.

Réponses

  • sevaus
    sevaus
    Puisque $X$ et $-X$ ont même loi et puisque $X$ et $Y$ sont indépendants, on a $\mathbb{E}[XY^T] = \mathbb{E}[-XY^T] = -\mathbb{E}[XY^T]$ d'où effectivement $\mathbb{E}[XY^T] = 0$.

    PS: j'ai supposé que $X$ était centré.

    Edit: je viens de voir ton edit.
    Ton calcul est juste mais il est sans doute plus simple de voir que $\mathbb{E}[XY^T] = \mathbb{E}[\displaystyle \sum X_i Y_i] = \displaystyle \sum \mathbb{E}[X_i Y_i] = \displaystyle \sum \mathbb{E}[X_i] \mathbb{E}[Y_i] = \mathbb{E}[X] \mathbb{E}[Y]^T$, la 3ème égalité provenant de l'indépendance.

    Si maintenant $X$ n'est pas à espérance nulle alors le résultat est faux: prendre $X', Y'$ gaussiens indépendants et centrés et considérer $X := X' + a$, $Y := Y' + b$ pour $ab \neq 0$: $X, Y$ sont encore gaussiens indépendants mais $\mathbb{E}[XY^T] = ab \neq 0$.
  • Noveang
    Noveang
    Bonjour,

    Merci sevaus pour la réponse. Pour la dernière égalité, il faut quand même montrer que $X$ est centré, donc qu'un vecteur Gaussien normalisé est bien centré.

    Je sais que de tels vecteur sont uniformément réparti sur la sphère unité, donc ça doit être le cas mais il faut que je le montre.

    Noveang.
  • sevaus
    sevaus
    J'ai réussi à rater le mot "normalisé", pourtant en gras.
    Si tu cherches à savoir si il est vrai que si $X$ est de loi normale (non nécessairement centrée) alors $\mathbb{E}[\frac{X}{\lvert \lvert X \rvert \rvert_2}] = 0$, c'est déjà faux en dimension $1$.
  • P.
    P.
    Si $X\sim N(0,I_n)$ alors en effet $U=\frac{X}{\|X\|}$ est uniforme sur la sphere et $\mathbb{E}(U)=0$, parce que $U\sim -U.$
  • Noveang
    Noveang
    Bonjour,

    Merci pour vos réponses, j'ai tous les éléments dont j'avais besoin.

    @ P. : N'ayant pas l'aisance que j'aimerais avoir en proba, et même si j'en suis convaincu, le fait que $U \sim - U$ peut-il se montrer facilement ?

    @ sevaus : Dans le cas centré (et c'est bien le cas ici) alors si justement c'est bien d'espérance nulle !
  • sevaus
    sevaus
    Je crois que je n'ai pas compris ta question finalement.

    Est-ce que ta situation est: $X$ suit une loi normale centrée et tu cherches à savoir si $\mathbb{E}\left[\frac{X}{\lvert \lvert X \rvert \rvert_2} \right] = 0$?
    Dans ce cas, comme l'affirme P., la réponse est oui et une façon de le prouver et de passer par la fonction caractéristique pour d'abord prouver que $X$ et $-X$ ont même loi. Le fait que $U = X/\lvert\lvert X\rvert\rvert_2$ ait même loi que $-U$ en découle alors immédiatement puisque $\lvert\lvert -X \rvert\rvert_2 = \lvert\lvert X \rvert\rvert_2$.
  • Noveang
    Noveang
    Oui c'est exactement à cette question que je souhaitais répondre, mon cadre de travail concerne uniquement des vecteurs gaussiens centrés. Merci pour ta réponse sur la fonction caractéristique !

    Problème résolu donc :)

    Merci à vous deux,
    Noveang.

    PS : Merci à P. pour le résultat plus général ci-dessous.
  • P.
    P.
    Une couche pour la diagonale. Si $C$ est une matrice symetrique reelle d'ordre $n$ et $X\sim N(0,I_n)$ alors si $U=X/\|X\|$ on a $\mathbb{E}(U^TCU)=\frac{1}{n}\mathrm{trace}(C).$ En effet sans perte de generalite on peut supposer $C=\mathrm{diag}(c,\cdots,c_n)$ et $$\mathbb{E}(U^TCU)=\mathbb{E}(c_1u_1^2+\cdots+c_nu_n^2)=c_1\mathbb{E}(u_1^2)+\cdots+c_n\mathbb{E}(u_n^2).$$ Mais les $u_i^2$ pour $i=1,\ldots,n$ sont de meme loi et de somme 1, donc $\mathbb{E}(u_i^2)=1/n$, et de plus $c_1+\cdots+c_n=\mathrm{trace}(C).$
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