Intégration et limite

Le fustré · September 2021

Bonjour, s'il vous plaît je me pose une question.

Si $f $ est une fonction numérique positive, bornée et définie sur $\mathbb{R}_+$ tel que $$\int_0^\infty f(x)dx=+\infty.$$ Est-ce que $\lim_{x\to+\infty}f(x) $ existe ?
Merci d'avance pour votre aide.

Homo Topi · September 2021

Regarde $f(x)=\cos(x)+1$.

hunter** · September 2021

non , f(x)=|sinx| est un bon contre exemple.

Le fustré · September 2021

Oui oui ça marche.
Merci bien.

Homo Topi · September 2021

Question subsidiaire :

Si $f$ est EDIT : continue et positive et que $\displaystyle \int_0^{\infty}f(t)dt < \infty$, $f$ admet-elle forcément une limite en $+\infty$ ?

hunter** · September 2021

Homo Topi: la réponse est "faux", je me rappelle qu'on avait donné un contre exemple moi et "Dom" qu'on avait illustré graphiquement, depuis quelques mois,

Homo Topi · September 2021

Je voulais que le fustré y réfléchisse un peu. Je connais la réponse et je me rappelle à peu près du contre-exemple classique, je devrais pouvoir le refaire au brouillon

Le fustré · September 2021

Désolé de répondre un peu tardivement, moi même je connais bien que ce sens est faux. En général on prend une sorte de fonction continue par morceau affine sur certaines intervalles.
Merci bien.