Calcul d'une intégrale
dans Analyse
Bonjour
Est-ce que vous pouvez me dire comment est-ce qu'on peut calculer la quantité, $$ I = \int_{0}^{ + \infty } e^{ - x^{2} } \cos ( 5 x ) dx \quad ?
$$ Merci d'avance.
Est-ce que vous pouvez me dire comment est-ce qu'on peut calculer la quantité, $$ I = \int_{0}^{ + \infty } e^{ - x^{2} } \cos ( 5 x ) dx \quad ?
$$ Merci d'avance.
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Réponses
Pablo, cela m'étonnerais que tu les aies tous lus.
À bientôt.
Cherche livres et objets du domaine mathématique :
Intégraphes, règles log et calculateurs électromécaniques.
Si tu ne trouves pas, je te donnerai une explication en échange de ta résolution par radicaux de $X^5-X-1=0$.
J'ai la flemme de faire le calcul des racines de $ X^5 - X - 1 = 0 $ Homo Topi.
Pablo, si tu as la flemme de faire des mathématiques, fais la sieste.
Cordialement,
Rescassol
On pose, $ J = \displaystyle \int_{0}^{ + \infty } e^{- x^{2} } \sin (5x) $.
Donc, $ I + J = \displaystyle \int_{0}^{ + \infty } e^{- x^{2} } e^{ i 5 x } dx = \mathcal{F} ( e^{ - x^{2} } ) ( - 5 ) $.
et, $ I - J = \displaystyle \int_{0}^{ + \infty } e^{- x^{2} } e^{ - i 5 x } dx = \mathcal{F} ( e^{ - x^{2} } ) ( 5 ) $
Est ce que c'est ça ?
Comment calcule-t-on $ \mathcal{F} ( e^{ - x^{2} } ) ( - 5 ) $ et $ \mathcal{F} ( e^{ - x^{2} } ) ( 5 ) $ ( Transformée de Fourier ) ?
$I(a) = \int_{R^+} e^{-x^2}\cos(ax)$
$I'(a) = -\int_{R^+} xe^{-x^2}\sin(ax) =_{IPP} -\frac{a}{2}\int_{R^+} e^{-x^2}\cos(ax) = -\frac{a}{2} I(a).$
D'où $I(a) = I(0)e^{-a^2/4} = \frac{\sqrt{\pi}}{2}e^{-a^2/4}$.
Première chose : il faut avoir calculé au préalable l'intégrale de Gauss. Elle est très connue, la méthode "la plus courante" utilise des intégrales doubles, c'est facile à trouver sur internet.
Ensuite (je ne justifie rien, c'est de la théorie, cherche par toi-même) :
Pour $m \in \R$ et $a>0$, on pose $F(t) = \displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty}e^{(x-m)^2/a}e^{-itx}dx$. Après changement de variable, on a $F(t) = \displaystyle e^{itm}\int_{-\infty}^{+\infty}e^{y^2/a}e^{-ity}dy$.
Il faut justifier proprement qu'on a le droit de faire ça (théorème de dérivation sous le signe intégrale, cf n'importe quel cours d'intégration) mais ensuite, on dérive $F$. Il y a des calculs de limites à faire. On voit que $F$ vérifie l'équation différentielle linéaire $F'(t) + \bigg(im + \dfrac{at}{2} \bigg)F(t)=0$. Donc $F(t)=\lambda e^{-imt + at^2/4}$ avec $\lambda \in \C$ qu'on trouve en calculant $F(0)$ (c'est ici qu'on utilise l'intégrale de Gauss), il vaut $\sqrt{a\pi}$. Après on remplace $a$ et $m$ par ce qu'il faut et on a notre TDF.
Pour ton intégrale, il suffit de séparer en partie réelle/imaginaire et d'évaluer.
Pour ce qu'il se passe dans Shtam, par contre, je n'offre aucune garantie, c'est beaucoup trop drôle tel quel.
J'allais expliquer comment faire par mise sous forme canonique mais pour la peine non.