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Inégalité de Hoffman-Wielandt

Bonjour,

Je m'attaque à la partie 1 de Centrale MP 2021.

Question $1$ :
Soit $P,Q \in O_n(\R)$ alors $P P^T=I_n$ et $Q Q^T=I_n$

On a $||PMQ||_F ^2= Tr( PMQ(PMQ)^T)=Tr(PMQ Q^T M^T P^T)=Tr(PMM^TP^T)$

La relation $Tr(AB)=Tr(BA)$ permet d'en déduire $||PMQ||_F ^2=Tr(P P^T MM^T)=Tr(M M^T)$

Une norme étant à valeurs positives, on en déduit $\boxed{||PMQ||_F =||M||_F}$

Question $2$ :
Les matrices $A$ et $B$ sont symétriques réelles, d'après le théorème spectral, elles sont diagonalisables.

Il existe $P \in O_n(\R)$ tel que $A=P D_A P^{-1}$ et il existe $P' \in O_n(\R)$ tel que $B=P' D_B P' ^{-1}$

Après je bloque.126684

Réponses

  • Le produit de deux matrices orthogonales est orthogonal.
  • D'accord merci je pense avoir compris l'idée. Je vais faire le calcul.
  • ... puis pour la Q3, utiliser le fait fait que si $M=\left(m_{ij}\right)$ alors $\left\Vert M\right\Vert _{F}=\sum_{i,j}m_{ij}^{2}$
    .
  • Je trouve :

    $$||A-B||_F ^2=Tr((A-B)(A-B)^T)=Tr((A-B)(A^T-B^T)) \\ =Tr(AA^T - AB^T -BA^T +BB^T)$$

    Donc $||A-B||_F ^2=Tr(PD_A ^2 P^T +P' D_B ^2 P' ^T- PD_A P^{-1}(P' ^{-1})^T D_B P' ^T-P' D_B P' ^{-1}(P' ^{-1})^T D_A P' ^T)$

    Je ne vois pas comment simplifier cette usine à gaz.
  • On est à la question 2. La question 1 est déjà oubliée
  • $A=P_A^t D_A P_A $
    $B=P_B^t D_A P_B $ avec $P_A$ et $P_B$ orthogonale

    $||A-B||^2=|| P_A (A-B)P_B^t||^2=||D_A P_A P_B^t - P_A P_B^t D_B||^2 =||D_A P - P D_B||^ 2 $$
    et P est orthogonale.

    Pas besoin d'usine à gaz si on regarde les questions précédentes.
  • @Bd2017
    Astucieuse la première écriture, dommage de donner la solution, je voulais la trouver moi-même.

    Question $3$ :

    Soient $(i,j) \in [|1,n|]^2$.

    Calculons $[D_A P - PD_B]_{ij}$. On a $[D_A P - PD_B]_{ij}= \displaystyle\sum_{k=1}^n \left( [D_A]_{ik} p_{kj} -p_{ik} [D_B]_{kj} \right)$

    Mais $\forall k \in [|1,n|] \ \ [D_A]_{ik}= \delta_{ik} \lambda_i (A)$ et $[D_B]_{kj} =\delta_{kj} \lambda_j (B)$ car $D_A$ et $D_B$ sont diagonales.

    D'où $[D_A P - PD_B]_{ij}= \displaystyle\sum_{k=1}^n \delta_{ik} \lambda_i (A) p_{kj} - \displaystyle\sum_{k=1}^n p_{ik} \delta_{kj} \lambda_j (B)$

    Ainsi $\boxed{[D_A P - PD_B]_{ij}=p_{ij} (\lambda_i (A) - \lambda_j(B) )}$

    L'indication de @Zig permet de conclure.
  • Je ne peux pas continuer le problème je dois étudier le cours d'abord. J'y reviendrai. Je n'ai pas les armes pour résoudre Q4.

    Le rapport du jury dit que la fin du sujet comporte des questions très difficiles (la question 36 réussie par uniquement 10 candidats). Mais que les réponses aux 25 premières questions constituent déjà une très bonne copie.
  • Merci pour les informations complémentaires on dormira mieux ce soir
  • :-D :-D

    J'aimerais l'avis d'experts pour savoir quelles sont exactement les questions très difficiles du sujet (comme ça je pourrais les sauter quand je chercherai).

    centrale maths 1 mp 2021
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