Espérance de matrices de la forme $X Y^\top$
Bonjour
J'essaye d'aboutir sur un calcul maintes fois attaqué, et sur lequel je viens tout juste de progresser. Pour vous donner le cadre, nous disposons d'une famille de vecteurs gaussiens standards indépendants $Y_1, \dots, Y_k$, et je m'intéresse à l'espérance de la matrice suivante :
$$
M_{i,j} = \dfrac{Y_i^\top C_{i,j} Y_j}{\|Y_i\|_2 \|Y_j\|_2}
,
$$ où les matrices $C_{i,j}$ sont données et déterministes. Ce que j'aimerais montrer, et qui semble se vérifier numériquement, c'est que l'espérance des coefficients extra-diagonaux est nulle, i.e. $\mathbb{E}(M_{i,j}) = 0$, pour $i \neq j$.
Très concrètement, c'est le point sur lequel je requiers votre aide. Pour vous donner l'état actuel de mon raisonnement, en utilisant l'astuce de la trace, on obtient
$$
\dfrac{Y_i^\top C_{i,j} Y_j}{\|Y_i\|_2 \|Y_j\|_2} = \text{tr}\left( \dfrac{Y_i^\top C_{i,j} Y_j}{\|Y_i\|_2 \|Y_j\|_2} \right) = \text{tr}\left( \dfrac{Y_j}{ \|Y_j\|_2} \dfrac{Y_i^\top}{\|Y_i\|_2} C_{i,j}\right).
$$ Ainsi, le passage à l'espérance revient à se demander si $\mathbb{E}(X Y^\top) = 0$, pour $X, Y$ des vecteurs gaussiens normalisés et indépendants. J'ai essayé avec le théorème de l'espérance totale, mais on obtient,
Finalement, je pense avoir répondu à ma question. Est-ce que quelqu'un pourrait me confirmer le calcul suivant :
$$
\mathbb{E}(X Y^\top) = \mathbb{E}(\mathbb{E}(X Y^\top \mid Y)) = \mathbb{E}(\mathbb{E}(X) Y^\top).
$$ Or, puisque $X$ est normalisé, il n'est plus évident (ni même vrai ?) que $\mathbb{E}(X) = 0$.
Merci d'avance,
Noveang.
J'essaye d'aboutir sur un calcul maintes fois attaqué, et sur lequel je viens tout juste de progresser. Pour vous donner le cadre, nous disposons d'une famille de vecteurs gaussiens standards indépendants $Y_1, \dots, Y_k$, et je m'intéresse à l'espérance de la matrice suivante :
$$
M_{i,j} = \dfrac{Y_i^\top C_{i,j} Y_j}{\|Y_i\|_2 \|Y_j\|_2}
,
$$ où les matrices $C_{i,j}$ sont données et déterministes. Ce que j'aimerais montrer, et qui semble se vérifier numériquement, c'est que l'espérance des coefficients extra-diagonaux est nulle, i.e. $\mathbb{E}(M_{i,j}) = 0$, pour $i \neq j$.
Très concrètement, c'est le point sur lequel je requiers votre aide. Pour vous donner l'état actuel de mon raisonnement, en utilisant l'astuce de la trace, on obtient
$$
\dfrac{Y_i^\top C_{i,j} Y_j}{\|Y_i\|_2 \|Y_j\|_2} = \text{tr}\left( \dfrac{Y_i^\top C_{i,j} Y_j}{\|Y_i\|_2 \|Y_j\|_2} \right) = \text{tr}\left( \dfrac{Y_j}{ \|Y_j\|_2} \dfrac{Y_i^\top}{\|Y_i\|_2} C_{i,j}\right).
$$ Ainsi, le passage à l'espérance revient à se demander si $\mathbb{E}(X Y^\top) = 0$, pour $X, Y$ des vecteurs gaussiens normalisés et indépendants. J'ai essayé avec le théorème de l'espérance totale, mais on obtient,
Finalement, je pense avoir répondu à ma question. Est-ce que quelqu'un pourrait me confirmer le calcul suivant :
$$
\mathbb{E}(X Y^\top) = \mathbb{E}(\mathbb{E}(X Y^\top \mid Y)) = \mathbb{E}(\mathbb{E}(X) Y^\top).
$$ Or, puisque $X$ est normalisé, il n'est plus évident (ni même vrai ?) que $\mathbb{E}(X) = 0$.
Merci d'avance,
Noveang.
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Réponses
PS: j'ai supposé que $X$ était centré.
Edit: je viens de voir ton edit.
Ton calcul est juste mais il est sans doute plus simple de voir que $\mathbb{E}[XY^T] = \mathbb{E}[\displaystyle \sum X_i Y_i] = \displaystyle \sum \mathbb{E}[X_i Y_i] = \displaystyle \sum \mathbb{E}[X_i] \mathbb{E}[Y_i] = \mathbb{E}[X] \mathbb{E}[Y]^T$, la 3ème égalité provenant de l'indépendance.
Si maintenant $X$ n'est pas à espérance nulle alors le résultat est faux: prendre $X', Y'$ gaussiens indépendants et centrés et considérer $X := X' + a$, $Y := Y' + b$ pour $ab \neq 0$: $X, Y$ sont encore gaussiens indépendants mais $\mathbb{E}[XY^T] = ab \neq 0$.
Merci sevaus pour la réponse. Pour la dernière égalité, il faut quand même montrer que $X$ est centré, donc qu'un vecteur Gaussien normalisé est bien centré.
Je sais que de tels vecteur sont uniformément réparti sur la sphère unité, donc ça doit être le cas mais il faut que je le montre.
Noveang.
Si tu cherches à savoir si il est vrai que si $X$ est de loi normale (non nécessairement centrée) alors $\mathbb{E}[\frac{X}{\lvert \lvert X \rvert \rvert_2}] = 0$, c'est déjà faux en dimension $1$.
Merci pour vos réponses, j'ai tous les éléments dont j'avais besoin.
@ P. : N'ayant pas l'aisance que j'aimerais avoir en proba, et même si j'en suis convaincu, le fait que $U \sim - U$ peut-il se montrer facilement ?
@ sevaus : Dans le cas centré (et c'est bien le cas ici) alors si justement c'est bien d'espérance nulle !
Est-ce que ta situation est: $X$ suit une loi normale centrée et tu cherches à savoir si $\mathbb{E}\left[\frac{X}{\lvert \lvert X \rvert \rvert_2} \right] = 0$?
Dans ce cas, comme l'affirme P., la réponse est oui et une façon de le prouver et de passer par la fonction caractéristique pour d'abord prouver que $X$ et $-X$ ont même loi. Le fait que $U = X/\lvert\lvert X\rvert\rvert_2$ ait même loi que $-U$ en découle alors immédiatement puisque $\lvert\lvert -X \rvert\rvert_2 = \lvert\lvert X \rvert\rvert_2$.
Problème résolu donc
Merci à vous deux,
Noveang.
PS : Merci à P. pour le résultat plus général ci-dessous.