Factorisation d'applications linéaires

Un exercice classique est le suivant (on a une propriété symétrique pour les images) dont la résolution ne me pose pas de problème :

Soient $u\in\mathcal L(E,F)$ et $v\in\mathcal L(E,G)$ deux applications linéaires. Les assertions suivantes sont équivalentes :

1. Il existe $w\in\mathcal L(F,G)$ tel que :
   $$\xymatrix{
   
   E \ar[r]^{u} \ar[rd]_{v} & F \ar[d]^{w} \\
   
   & G
   
   } \qquad \qquad v=w\circ u.
   $$
2. $\ker(u)\subset\ker(v)$.

Toutefois, j'ai lu quelque part un prolongement qui demande d'en déduire toutes les applications linéaires $w$ vérifiant cette propriété. Je ne vois pas ce qui est attendu.