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Opérateur autoadjoint et base orthonormale

Bonjour,
Soit $T$ un opérateur autoadjoint de domaine $\mathscr D$ dense dans $L^2$. Peut-on toujours construire une base orthonormée de $L^2$ formée des vecteurs propres de $T$ ?
Il me semble que les espaces propres associés à des valeurs propres différentes seront orthogonaux à cause de la relation $$
\lambda_n\langle u,v\rangle= \langle T u,v\rangle= \langle u,Tv\rangle= \lambda_m\langle u,v\rangle
$$où $u$ est un vecteur propre associé à la valeur propre $\lambda_n$ et $v$ associé à $\lambda_m$.
Puis dans le même espace propre, on se débrouille pour trouver une base de cet espace propre, formée par des vecteurs propres tous orthogonaux les un aux autres?
Merci d'avance !

Réponses

  • On ne peut pas toujours. Il peut même n'y avoir aucun vecteur propre.
    Et attention, une base orthonormée est une base en tant qu'EV. Une base hilbertienne n'en est pas une.
  • Même si dans mon cas je sais que le spectre est uniquement constitué de valeurs propres et que chaque valeur propre est de multiplicité au plus deux, je ne peux pas espérer avoir une base hilbertienne ? (En fait ce qui m'importe c'est le fait que les vecteurs propres soient tous orthogonaux les un aux autres...)
  • Dans le cas que tu dis, je pense que si, au moins dans le cas où le domaine est égal à tout l'espace, sinon je connais trop mal. Ce qui est sûr, c'est qu'effectivement, les espace propres sont deux à deux orthogonaux.
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