Prouver une inégalité avec $\ln$
dans Analyse
Étant donnée la fonction f d'expression f(x) = (2x+1) (ln(x+1) - ln(x)) - 2. Avec x > 0.
Comment montrer que 0 < f (x) < (1/6) * (1 / ( x (x+1))) ?
Je pensais montrer en deux étapes:0 <f (x) puis f (x) < (1/6) * (1 / ( x (x+1))).
1ère inégalité.
Par l'étude du signe de différences, je n'arrive pas à m'en sortir...
J'ai calculé f '(x) = 2ln (1+ 1/x ) - (2x+1) * (1/ ( (x+1) *x).
Signe de la dérivée de f ? à cause du moins, je suis bloqué.
Par des équivalents ?
2ème inégalité.
Je pose : g(x) = x(x+1) * f(x) et j'aurais aimé prouver que g(x) < 1/6 .
Mais comment ?
Merci d'avance pour votre aide.
Comment montrer que 0 < f (x) < (1/6) * (1 / ( x (x+1))) ?
Je pensais montrer en deux étapes:0 <f (x) puis f (x) < (1/6) * (1 / ( x (x+1))).
1ère inégalité.
Par l'étude du signe de différences, je n'arrive pas à m'en sortir...
J'ai calculé f '(x) = 2ln (1+ 1/x ) - (2x+1) * (1/ ( (x+1) *x).
Signe de la dérivée de f ? à cause du moins, je suis bloqué.
Par des équivalents ?
2ème inégalité.
Je pose : g(x) = x(x+1) * f(x) et j'aurais aimé prouver que g(x) < 1/6 .
Mais comment ?
Merci d'avance pour votre aide.
Réponses
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Bonjour
pour le 1.
Ce que tu peux faire c'est dériver encore.
En effet $f''(x)=\frac{1}{x^2 (x+1)^2}>0$
De même si tu poses $g(x)=\frac{1}{x(x+1)}$
$g''(x)-f''(x)=\frac{1}{3 x^3 (x+1)^3}>0$
Donc tu as la croissance de la dérivée et tu peux obtenir son signe facilement .
On peut peut être faire autrement mais je n'ai pas regardé.. -
Pour la premiere en posant $y=\frac{1}{2}\log\frac{x+1}{x}>0$ on atterrit sur $\mathrm{th}(y)<y.$
-
Merci.
Calculs longs et techniques mais les tableaux de variations se font assez facilement. -
Je n'arrive pas à faire le lien entre l'idée du th et l'inégalité demandée.
Merci quand même; cela permet de revoir les fonctions hyperboliques... -
Allons donc. Puisque $x=\frac{1}{e^{2y}-1}$ il vient
$$
(2x+1) \log \frac{x+1}{x}-2=2\Big(\frac{e^{2y}+1}{e^{2y}-1}y-1\Big)=2\Big(
\frac{y}{\mathrm{th}y}-1\Big)$$ -
Astucieux, j'en conviens.
Je n'aurais pas pensé à poser y = (1/2) ln(1+1/x).
Merci.
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Bonjour!
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