Constantes universelles

Le $ P $ relatif à $ \pi $ doit être défini en faisant introduire, la circonférence d'un cercle qui ne varie pas en faisant varier ce cercle dans la famille de tous les cercles de $ \mathbb{R}^2 $.

Homo Topi,
Oui, et on dit que $ \pi $ est universel par rapport à la propriété que tu as choisi. Mais, il y a une autre propriété $ P $ qu'il faut trouver qui fait qu'il y a une raison plus profonde pour laquelle les mathématiciens ont appelé $ \pi $ un nombre universel.

Homo Topi,
Comme promis, voici ce qui tourne dans mon esprit à propos de cette notion d'universalité d'un nombre.
En algèbre, on cherche à définir un objet universel $ U $ d'une classe d'objets d'une catégorie $ \mathcal{C} $ obéissant à une propriété $ P $.
Pour cela, on regroupe cette classe d'objets dans un foncteur $ A \to F(A) = \{ \ A \in \mathcal{C} \ | \ P(A) \ \} $, et on dit que $ U $ est un objet universel ( par rapport à $ P $ ) si $ U $ représente le foncteur $ F $.
Autrement dit, $ U $ est un objet universel ( par rapport à $ P $ ) si pour tout $ A \in \mathcal{C} $, $ F(A) = \mathrm{Hom} ( U , A ) $.
C'est cette idée que je vais utiliser pour définir la notion de nombre universel, ou nombre universel par rapport à une propriété $ P $.
On résume ce qu'on a dit dans les postes précédents,
Soit $ ( A , \sim ) $ un ensemble muni d'une relation binaire $ \sim $.
Soit $ B \subset A $ une classe de nombres obéissant à une propriété $ P $.
Alors, $ B = \{ \ a \in A \ | \ P (a) \ \} $,
Soit $ u \in B $,
$ u $ est universel dans $ B $, si, pour tout $ b \in A $, $$ b \in B \ \ \Longleftrightarrow \ \ u \sim b $$
Donc, $ u $ est universel dans $ B $, si, pour tout $ b \in A $, $$ B(b) \ \ \Longleftrightarrow \ \ \sim (u , b ) $$ avec, $ B(b) = \{ \ b \in A \ | \ P(b) \ \} $.
C'est à dire, $ u $ est universel dans $ B $, si, pour tout $ b \in A $, $$ B(b) = \ \sim (u , b ) $$
$ \sim (u , b ) $ s'identifie à l'ensemble des morphismes formels $ u \to b $ qu'on note aussi, $ u \sim b $ ( C'est un seul morphisme en effet )
D'où, $ u $ est un nombre universel, si, $ u $ représente le foncteur $ B $.

Donc, $ \pi $ représente le foncteur, $ b \to B(b) = \{ b \in \mathbb{R} \ | \ \exists c \in \mathbb{R} \ , \ \pi = \dfrac{b}{c} \ \} $, car, $ \varphi \ : \ \sim ( \pi , b ) \to B(b) $ défini par, $ \varphi (f ) = f (\pi) $ est une bijection. D'où, $ \pi $ est un objet universel dans $ \mathbb{R} $.

Non, ce n'est pas moi, @raoul.S. J'ai simplement tapé : universalité du nombre pi, sur google, et ça m'a donné ce lien là. :-)

J'aimerais insister sur un point qui est très important dans cette histoire, est que, la propriété $ P \ : \ \pi = \dfrac{b}{c} $ figurant dans $ b \to B(b) = \{ b \in \mathbb{R} \ | \ \exists c \in \mathbb{R}^* \ , \ \pi = \dfrac{b}{c} \ \} $ n'est pas n'importe quelle propriété, mais en fait $ \pi = \dfrac{b}{c} $ n'est autre que la fameuse formule $ \pi = \dfrac{\mathrm{Cir} (C)}{ \mathrm{Diam} (C) } $, pour n'importe quel cercle $ C $ dans $ \mathbb{R}^2 $, où $ \mathrm{Cir} \ : \ C \to \mathrm{Cir} (C) $ est la mesure de circonférence du cercle $ C $, et $ \mathrm{Diam} \ : \ C \to \mathrm{Diam} (C) $ est la mesure de diamètre du cercle $ C $.