Encadrement d'une suite convergente
dans Analyse
Bonsoir,é
Soit $x_n$ une suite convergente vers $x$ .
Comment construire deux suites $a_n$ (croissante) et $b_n$ (décroissante) qui encadrent la première suite ($a_n \leq x_n \leq b_n$),
et telles que $a_n$ et $b_n$ tendent vers $x$.
Soit $x_n$ une suite convergente vers $x$ .
Comment construire deux suites $a_n$ (croissante) et $b_n$ (décroissante) qui encadrent la première suite ($a_n \leq x_n \leq b_n$),
et telles que $a_n$ et $b_n$ tendent vers $x$.
Réponses
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Hum…
L’idée est tellement simple et « belle » quand on trouve tout seul…
Mots clés : écriture décimale, développement décimal -
Nope, ça n’a pas grand chose à voir avec le développement décimal mais avec les limsup et liminf.
On pose $a_n=\inf_{k\ge n} x_k$ qui est croissante et inférieure à $x_n$ et $b_n=\sup_{k\ge n} x_k$ qui est décroissante et supérieure à $x_n$. -
J'ai écrit la définition d'une suite convergente et je prends $\epsilon=\frac{1}{m},\ m \in \mathbb{N}$, mais rien trouvé même chose j'ai utilisé la définition d'une suite de Cauchy car elle est convergente.
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Merci
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psychcorse,
J’y trouve une artillerie lourde (sup/inf) même si cela est ultra court cependant.
Mon idée naïve revient à peu près à cela. Même si ça prend plus de temps à rédiger. -
Depuis quand sup et inf constituent une artillerie lourde? L’axiome de la borne supérieure est la première chose que l’on voit dans un cours de supérieur.. Bref.
-
Bonsoir,
Je ne comprends pas pourquoi l’on doit subir cette susceptibilité (le message semble presque agressif, mais je veux bien reconnaître que je l’interprète mal).
Ceci dit, ce n’est pas grave.
Cordialement -
psychcorse,
Je t'ai envoyé ma tentative en message privé. Si tu peux le voir. -
Oui en gros c’est ça. Attention lors des passages aux bornes inf et sup, les inégalités deviennent larges.
-
Je me pose la question de l'optimalité de la suite proposée par psychcorse. En un sens, ça devrait être "la seule qui fonctionne en général", mais on peut très bien considérer $a_n - \varepsilon_n$, où $\varepsilon_n$ décroît vers $0$. Peut-on trouver un exemple de suite $(x_n)_n$ telle que pour toute suite croissante $(a_n)_n$ vérifiant $a_n \leq x_n$ et $a_n \underset{n \to +\infty}{\to} x$, on a $a_n \underset{n \to +\infty}{\sim} \inf_{k \geq n} x_k$ ?
-
Dom écrivait : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,2299474,2299476#msg-2299476
[Inutile de recopier un message présent sur le forum. Un lien suffit. AD]
J'ai trouvé ça sur les mots clés, https://imgur.com/a/IiwMkYh
Mais je ne trouve aucune relation avec mon problème, pouvez-vous m'aider s'il vous plaît ? -
Poirot écrivait : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,2299474,2299758#msg-2299758
[Inutile de recopier l'avant-dernier message. Un lien suffit. AD]
Bonne question, je vais essayer de la résoudre.
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