Fonctions à caractériser

Salut.
@Beocien, d'après ce que tu dis la fonction $f(n) = F(n)$ ne marche que si $u\mid v$. Donc on ne peut pas de là dire que ceux sont des fonctions qui marchent, si je ne me trompe.

J'espère que ce que j'ai écrit ci-dessus n'est pas incorrect, mais j'ai eu un gros doute car j'ai cru que ma description n'incluait pas les fonctions du type $\varphi(n)=cn$, $c\in\mathbb N^*$ étant fixé. En fait, pour $c=\prod_{p\in \mathcal P}p^{\alpha_p}$, ça correspond à $f_p(n) = n+\alpha_p$ (qui est bien croissante), et $\sigma = \mathrm{id}$.

@AD: désolé pour les tremas !!

Bonsoir,

Soit $u$ une suite $\N^* \to \N^*.$
$\bullet\quad $Il existe une unique suite $v: \N^* \to \Q^*$ telle que $\forall n \in \N^* , \quad u_n =\displaystyle \prod _{d\mid n} v_d. \quad$ ($v$ est définie par $v_n= \displaystyle \prod _{d\mid n} u_d^{\mu (n/d)}$.)
$\bullet \quad $Soit $w: \N^* \to \N^*$ la suite définie par: $\quad w_1 = u_1,\:\: \forall n>1: \:\: w_n = \dfrac {\mathrm{PPCM}(u_1,u_2,\dots u_{n})}{\mathrm{PPCM}(u_1,u_2,\dots u_{n-1})}$

$\bullet \quad$On dira que "$u$ possède la propriété $\:\mathcal P\:$" lorsque $\: \forall m,n \in \N^*, \quad u_m \wedge u_n = u_{m\wedge n}.$

Assez délicate à établir, la proposition suivante est une caractérisation des suites qui satisfont à $\mathcal P$.
$$ \boxed{u \:\text {possède la propriété}\: \mathcal P \iff v=w.}$$
Voici d'autre part, à titre d'exercices, des exemples de suites $u$ dont il me paraît intéressant de démontrer qu'elles possèdent la propriété $ \mathcal P.$

$1)\quad u_n = a^n -b^n, \qquad( a,b \in \N^*, \:\:b<a,\:\: a\wedge b =1).$
$2)\quad u_1 =1, u_2 =a, \quad \forall n \in \N^*, \:\: u_{n+2} = au_{n+1} +b u_{n}\qquad( a,b \in \N^*, \:\: a\wedge b = 1).$
$3)\quad u_n= \sup \left\{ k \in \N^* \mid \dfrac{ (1+ \sqrt 2 )^n -1}k \in \Z[\sqrt 2 ]\right \}.$
$3\text{bis})\quad u_n = \sup \left\{k \in \N^* \mid \dfrac {\theta ^n-1}k \in \mathbb A \right\}\qquad ( \mathbb A:\: \text{anneau des entiers algébriques},\:\:\theta \in \mathbb A).$


Remarque:
@Yves Martin: il est faux de dire que si $a$ et $b$ possèdent la propriété $\mathcal P$, alors il en est de même de la suite $a+b$
@i.zitoussi: il me semble aussi inexact d'affirmer que les endomorphismes de $A\times A $ sont tous de la forme que tu as indiquée (considérer par exemple $A= (\N,+), \:\: f: (x,y) \mapsto (x+y,0)$ qui est un endomorphisme de $A\times A $) et que toutes les suites possédant la propriété $ \mathcal P$ seront ainsi obtenues par ton procédé.