Merci pour vos réponses.
Un tel endomorphisme donne l'identité.
Mais ainsi, n'y a-t-il pas un léger abus de langage sachant que dans mon livre, une représentation linéaire d'un groupe fini $G$ dans un $\mathbb{C}$-espace vectoriel $V$ est définie par un homomorphisme de $G$ dans $GL(V)$ ? Par léger abus de langage, j'entends que l'on raisonne, dans notre cas, à isomorphisme près et non pas seulement avec la définition.
Non, il y en a d'autres que l'identité. Oui, quand on dit qu'une représentation de degré $1$ est un morphisme de $G$ dans $\mathbb C^*$ c'est à isomorphisme près car $\mathrm{GL}(V)$ n'est pas formellement $\mathbb C^*$.
Cela dit, contrairement à $GL(V)\cong GL_n(\mathbb C)$ qui requiert un choix de base de $V$ lorsque $n\geq 2$, l'isomorphisme $\mathbb C^*\overset\cong\to GL(V)$ est canonique lorsque $\dim(V) = 1$, de sorte que l'abus est minime.
Réponses
Un tel endomorphisme donne l'identité.
Mais ainsi, n'y a-t-il pas un léger abus de langage sachant que dans mon livre, une représentation linéaire d'un groupe fini $G$ dans un $\mathbb{C}$-espace vectoriel $V$ est définie par un homomorphisme de $G$ dans $GL(V)$ ? Par léger abus de langage, j'entends que l'on raisonne, dans notre cas, à isomorphisme près et non pas seulement avec la définition.
Pour les autres, ce sont les homothéties pardon.