Prouver une inégalité avec $\ln$

mathssympas · September 2021

Étant donnée la fonction f d'expression f(x) = (2x+1) (ln(x+1) - ln(x)) - 2. Avec x > 0.
Comment montrer que 0 < f (x) < (1/6) * (1 / ( x (x+1))) ?

Je pensais montrer en deux étapes:0 <f (x) puis f (x) < (1/6) * (1 / ( x (x+1))).

1ère inégalité.
Par l'étude du signe de différences, je n'arrive pas à m'en sortir...
J'ai calculé f '(x) = 2ln (1+ 1/x ) - (2x+1) * (1/ ( (x+1) *x).
Signe de la dérivée de f ? à cause du moins, je suis bloqué.
Par des équivalents ?

2ème inégalité.
Je pose : g(x) = x(x+1) * f(x) et j'aurais aimé prouver que g(x) < 1/6 .
Mais comment ?
Merci d'avance pour votre aide.

bd2017 · September 2021

Bonjour
pour le 1.
Ce que tu peux faire c'est dériver encore.
En effet $f''(x)=\frac{1}{x^2 (x+1)^2}>0$

De même si tu poses $g(x)=\frac{1}{x(x+1)}$

$g''(x)-f''(x)=\frac{1}{3 x^3 (x+1)^3}>0$

Donc tu as la croissance de la dérivée et tu peux obtenir son signe facilement .

On peut peut être faire autrement mais je n'ai pas regardé..

P. · September 2021

Pour la premiere en posant $y=\frac{1}{2}\log\frac{x+1}{x}>0$ on atterrit sur $\mathrm{th}(y)<y.$

mathssympas · September 2021

Merci.
Calculs longs et techniques mais les tableaux de variations se font assez facilement.

mathssympas · September 2021

Je n'arrive pas à faire le lien entre l'idée du th et l'inégalité demandée.

Merci quand même; cela permet de revoir les fonctions hyperboliques...

P. · September 2021

Allons donc. Puisque $x=\frac{1}{e^{2y}-1}$ il vient
$$
(2x+1) \log \frac{x+1}{x}-2=2\Big(\frac{e^{2y}+1}{e^{2y}-1}y-1\Big)=2\Big(
\frac{y}{\mathrm{th}y}-1\Big)$$

mathssympas · September 2021

Astucieux, j'en conviens.
Je n'aurais pas pensé à poser y = (1/2) ln(1+1/x).

Merci.

Prouver une inégalité avec $\ln$

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