Relier une solution "continue" à "discrète"

Bonjour,

Juste par simple curiosité je voulais savoir si on pouvait passer de solutions "discrètes" à des solutions "continues" et vice-versa mais je n'y arrive pas vraiment et j'aimerais vous demander s'il y a une règle générale.
J'ai commencé par l'équation suivante : $y.y'=x$, pour simplifier je prends le cas de fonctions de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$, et notons $X$ une primitive de $x$. On a alors $\frac{1}{2}y^{2}=X+c$. Pour qu'une telle solution existe il faut que $X(t)+\frac{1}{2}y(0)-X(0)>0$ pour tout $t$. Disons que notre fonction $X$ est telle qu'il existe des $y_{0}$ pour lesquels cette condition est vraie. En choisissant un tel $y(0)$ on obtient donc une solution à l'équation.

Prenons maintenant l'équivalent "discret" de cette équation différentielle, ce qui donne $y_{t}y_{t-1}=x_{t}$. Si on venait à appliquer les mêmes changements pour passer du continu au discret à la solution précédente on a $\frac{1}{4}y^{2}_{t}y^{2}_{t-1}=(X_{t}+c)(X_{t-1}+c)$. Je vois mal comment relier ça à une solution de l'équation discrète.

Si ça se trouve $y_{t}y_{t-1}=x_{t}$ n'est pas l'équivalent discret de l'équation différentielle $y.y'=x$ et c'est pour cela que j'aimerais vous demander s'il y a des règles générales pour le passage du continu au discret et qui permettent de retrouver une solution à partir de l'autre.

Merci d'avance.