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Encadrement d'une suite convergente

Besma bissanBesma bissan
dans Analyse
Bonsoir,é
Soit $x_n$ une suite convergente vers $x$ .
Comment construire deux suites $a_n$ (croissante) et $b_n$ (décroissante) qui encadrent la première suite ($a_n \leq x_n \leq b_n$),
et telles que $a_n$ et $b_n$ tendent vers $x$.

Réponses

  • DomDom
    Hum…
    L’idée est tellement simple et « belle » quand on trouve tout seul…
    Mots clés : écriture décimale, développement décimal
  • psychcorsepsychcorse
    Nope, ça n’a pas grand chose à voir avec le développement décimal mais avec les limsup et liminf.

    On pose $a_n=\inf_{k\ge n} x_k$ qui est croissante et inférieure à $x_n$ et $b_n=\sup_{k\ge n} x_k$ qui est décroissante et supérieure à $x_n$.
  • Besma bissanBesma bissan
    J'ai écrit la définition d'une suite convergente et je prends $\epsilon=\frac{1}{m},\ m \in \mathbb{N}$, mais rien trouvé même chose j'ai utilisé la définition d'une suite de Cauchy car elle est convergente.
  • Besma bissanBesma bissan
    Merci
  • DomDom
    psychcorse,

    J’y trouve une artillerie lourde (sup/inf) même si cela est ultra court cependant.
    Mon idée naïve revient à peu près à cela. Même si ça prend plus de temps à rédiger.
  • psychcorsepsychcorse
    Depuis quand sup et inf constituent une artillerie lourde? L’axiome de la borne supérieure est la première chose que l’on voit dans un cours de supérieur.. Bref.
  • DomDom
    Bonsoir,

    Je ne comprends pas pourquoi l’on doit subir cette susceptibilité (le message semble presque agressif, mais je veux bien reconnaître que je l’interprète mal).
    Ceci dit, ce n’est pas grave.

    Cordialement
  • Besma bissanBesma bissan
    psychcorse,

    Je t'ai envoyé ma tentative en message privé. Si tu peux le voir.
  • psychcorsepsychcorse
    Oui en gros c’est ça. Attention lors des passages aux bornes inf et sup, les inégalités deviennent larges.
  • PoirotPoirot
    Je me pose la question de l'optimalité de la suite proposée par psychcorse. En un sens, ça devrait être "la seule qui fonctionne en général", mais on peut très bien considérer $a_n - \varepsilon_n$, où $\varepsilon_n$ décroît vers $0$. Peut-on trouver un exemple de suite $(x_n)_n$ telle que pour toute suite croissante $(a_n)_n$ vérifiant $a_n \leq x_n$ et $a_n \underset{n \to +\infty}{\to} x$, on a $a_n \underset{n \to +\infty}{\sim} \inf_{k \geq n} x_k$ ?
  • Besma bissanBesma bissan
    Dom écrivait : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,2299474,2299476#msg-2299476
    [Inutile de recopier un message présent sur le forum. Un lien suffit. AD]
    J'ai trouvé ça sur les mots clés, https://imgur.com/a/IiwMkYh
    Mais je ne trouve aucune relation avec mon problème, pouvez-vous m'aider s'il vous plaît ?
  • Besma bissanBesma bissan
    Poirot écrivait : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,2299474,2299758#msg-2299758
    [Inutile de recopier l'avant-dernier message. Un lien suffit. AD]
    Bonne question, je vais essayer de la résoudre.
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