Polynômes de Tchebychev

Bonjour,

Afin de vérifier que j'ai bien le niveau collège-lycée je tente ces 5 premières questions de Centrale MP maths 2 2021. Beaucoup de récurrences pour vérifier si je maitrise le niveau lycée (:P)

Question $1$ :
Montrons par récurrence double sur $n$ que $\deg \ T_n =n$.
On a $\deg \ T_0=0$ et $\deg \ T_1=1$ donc la propriété est vraie aux rangs $n=0$ et $n=1$.
Supposons que la propriété soit vraies aux rangs $n$ et $n+1$.

On a $\deg \ T_{n+2}=\deg (2X T_{n+1}-T_n)=\max( \deg \ T_{n+1}+1, \deg \ T_n)=\max(n+2,n)=n+2$

On a démontré par récurrence que $\boxed{\forall n \in \N \ \ \deg \ T_n =n}$

La famille $(T_k)_{0 \leq k \leq n}$ est échelonnée en degré, elle est donc libre. Par ailleurs, $card ((T_k)_{0 \leq k \leq n})=n+1= \dim_{\C} \C_n[X]$. La famille $(T_k)_{0 \leq k \leq n}$ est donc une base de $\C_n[X]$.

Question $2$ :
Montrons par récurrence double sur $n$ que $T_n(\cos \ \theta)=\cos(n \theta)$.
On a $T_0( \cos \theta)=1= \cos (0)$ et $T_1( \cos \theta)=\cos( \theta)$ donc la propriété est vraie aux rangs $n=0$ et $n=1$.
Supposons que la propriété soit vraies aux rangs $n$ et $n+1$.

On a $T_{n+2}( \cos \theta)=2 \cos \theta T_{n+1} ( \cos \theta )-T_n( \cos \theta)$

Donc $T_{n+2}( \cos \theta)=2 \cos \theta \cos ((n+1) \theta)- \cos (n \theta)$

Or, $\forall (a,b) \in \R^2 \ \ \cos a \cos b=\dfrac{1}{2} (\cos(a+b)+ \cos(a-b))$

D'où $T_{n+2}( \cos \theta)=\cos( \theta+(n+1) \theta)+ \cos( (n+1) \theta- \theta)- \cos (n \theta)$

Enfin $T_{n+2}( \cos \theta) = \cos ((n+1) \theta)$

On a démontré par récurrence que $\boxed{\forall n \in \N \ \ T_n( \cos \theta)= \cos( n \theta)}$

Question $3$ :
Soit $P \in \C_n[X]$. D'après la question $1$, la famille $(T_k)_{0 \leq k \leq n}$ est une base donc à fortiori une famille génératrice de $\C_n[X]$, ainsi, il existe $(a_0, \cdots, a_n) \in \C^{n+1}$ tels que :

$P(X)= \displaystyle\sum_{k=0}^n a_k T_k (X)$ donc $P( \cos \ \theta)=\displaystyle\sum_{k=0}^n a_k T_k (\cos \ \theta)$

La question précédente fournit $P( \cos \ \theta)=\displaystyle\sum_{k=0}^n a_k \cos( k \theta)$

Enfin, $\boxed{P( \cos \ \theta)=a_0 +\displaystyle\sum_{k=1}^n a_k \cos( k \theta)}$ ce qui permet de conclure.

Question $4$ :
Déterminons $\sup_{x \in [-1,1]} |T_n(x)|$

Je n'ai pas réussi.

Question $5$ :
Montrons par récurrence sur $n$ que $\forall \theta \in \R \ |\sin(n \theta)| \leq n | \sin \ \theta|$
C'est évident pour $n=0$.

Supposons la propriété vraie au rang $n$ fixé. On a :

$$ |\sin((n+1) \theta)|=| \sin (n \theta + \theta)= |\sin(n \theta) \cos( \theta)+\sin( \theta) \cos (n \theta)| \\
\leq |\sin(n \theta)| +| \sin( \theta)| \\
\leq (n+1) |\sin( \theta) |

$$ On a démontré par récurrence $\boxed{\forall n \in \N \ \forall \theta \in \R \ |\sin(n \theta)| \leq n | \sin \ \theta|}$

En dérivant la relation de la question $2$ on a $\forall \theta \in \R \ \sin( \theta) T_n '( \cos \ \theta)= n \sin (n \ \theta)$

Donc $|\sin( \theta) T_n '( \cos \ \theta)| = n | \sin (n \ \theta) | \leq n^2 | \sin \ \theta |$

Ainsi $\boxed{\forall \theta \in \R \ \ |\sin( \theta) | \times |T_n '( \cos \ \theta)| \leq n^2 | \sin \ \theta |}$

Après je bloque comme pour la question $4$.