Sous-variété de classe $C^1$

Pour n'importe quel Banach il faut commencer par la notion de différentielle : on suppose que $f$ est une application d'un espace de Banach $B_1$ vers un espace de Banach $B_2$ alors la différentielle de $f$ en un point $x_1\in B_1$ est une fonction linéaire continue $l_{x_1}$ telle que $f(x_1+h)=f(x_1)+l_{x_1}(h)+\vert h\vert \varepsilon(h)$ avec
$\varepsilon(h)\rightarrow 0$ quand $h\rightarrow 0$. Ensuite on définit la fonction différentielle : c'est celle telle que $x_1\mapsto l_{x_1}$.
Ceci permet de définir les notions de cartes et d'atlas $C^1$ par analogie avec les variétés de dimension $n$.à condition de se donner une topologie pour laquelle l'application
$x_1\mapsto l_{x_1}$ est continue...etc