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limite croissante d'un net

Bonjour,

Soit $ X$ un espace topologique compact de Hausdorff et $C(X)$ l'espace des fonctions réelles continues.

Soit $(f_{\alpha})\subset C(X)$ un net croissante simplement et satisfait $f_{\alpha}(s)\nearrow f(s),\quad\forall s $

A-t-on que
$$ \forall \varepsilon >0,\ \exists g\in C(X),\ tel~que \ |f(s)-g(s)|\leq \varepsilon,\quad \forall s.

$$ Merci beaucoup.

Réponses

  • Soit $f_n$ définie sur $C([0,1])$ par $f_n(x)=nx$ si $x\leq 1/n$ et $f_n(x)=1$ si $x>1/n$. Alors $(f_n)$ tend vers $f$, définie par $f(0)=0$ et $f(x)=1$ si $x>0$.
    Pour $\epsilon=1/4$, on ne peut pas avoir de fonction $g$ continue telle que $-1/4\leq g(0)\leq 1/4$ et $g(x)\geq 1-1/4=3/4$ pour $x>0$.
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