Solution maximale

Bonjour, pour la classe d'équations $u^{n}(t)=F(u(t),\dots, u^{n-1}(t),t)$ on utilise le théorème de Cauchy-Lipshitz (voir sur Wikipedia).
Pour la classe d'équations $G(u(t),\dots, u^{n}(t),t)=0$ il n'y a pas de méthode générale connue. Tu peux essayer de consulter un bouquin de V.Arnold aux éditions MIR qui a pour a pour titre français "Chapitres supplémentaires de la théorie des équations différentielles ordinaires" où Arnold donne quelques pistes de résolution. La traduction française date de 1980 il existe peut-être des rééditions.

On ne peut pas toujours, par exemple
$$y(t)y'(t)+t = 0,\qquad y(0)=0$$
n'a pas de solutions sur tout intervalle $I$ tel que $0 \in I$ (pour le voir, intégrer l'équation entre $0$ et $t$ pour obtenir $y(t)^2+t^2=0$ pour tout $t \in I$, ce qui est absurde).

Il faut donc voir au cas par cas si c'est possible.