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Bonjour
Pourquoi $ \mathscr{U}_{N}=\Big\{u=h+\bar{h}\subset L^2 (\C, \R) \mid h(x)=-\mathrm{e}^{i x} \frac{Q^{\prime}\left(\mathrm{e}^{i x}\right)}{Q\left(\mathrm{e}^{i x}\right)},\ Q \in \mathbb{C}_{N}^{+}[z]\Big\}$ est connexe ?
$ \mathbb{C}_{N}^{+}[z]$ désigne l'ensemble des polynôme $P \in \mathbb{C}_{N}[z]$, avec la propriété que $\{P(z)=0\} \subset\{|z|>1\}$.
Merci d'avance !

Réponses

  • Bonjour, ne faut-il pas lire $u\in L^2(\mathbb{R},\mathbb{R})$? A part cela on se donne deux éléments $u_1$ et $u_2$ de l'ensemble alors, "à vue de nez", le segment $t(u_2+\bar(u_2))+(1-t)(u_1+\bar(u_1))$ avec $0\leq t\leq 1$ est contenu dans ton ensemble par le théorème de dépendance continue des racines d'un polynôme (en $x$) appliqué au dont les coefficients sont des fonctions continues d'une variable $t$ appliqué au dénominateur
    Par contre je ne sais pas prouver que ton ensemble est un ouvert.
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