Construction similitude directe
Étant donnés 4 points $A B, A', B'$ du plan affine euclidien, on sait qu'il existe une unique similitude directe $s$ telle que $s(A) = A'$ et $s(B) = B'$.
Je suppose que les droites $AB$ et $A'B'$ ne sont pas parallèles c'est à dire que $s$ n'est pas une homothétie ou une translation.
Montrer comment avec l'aide d'une règle et d'une équerre seulement, on peut construire le centre $O$ de la similitude $s$ ainsi que l'image $M' = s(M)$ d'un point donné $M$.
Amicalement
Pappus
Je suppose que les droites $AB$ et $A'B'$ ne sont pas parallèles c'est à dire que $s$ n'est pas une homothétie ou une translation.
Montrer comment avec l'aide d'une règle et d'une équerre seulement, on peut construire le centre $O$ de la similitude $s$ ainsi que l'image $M' = s(M)$ d'un point donné $M$.
Amicalement
Pappus
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Réponses
-- Schnoebelen, Philippe
Il y a une construction classique "à la règle et au compas" : si I est le point d'intersection des droites (AB) et (A'B'), le centre O est le second point d'intersection des cercles passant respectivement par A, A', I et B, B', I. On sait même construire à la règle seule l'image d'un point une fois ces deux cercles tracés.
Dans ton problème il faut remplacer le compas par une équerre. Il me manque une donnée : une équerre à 60° ou à 45°
Bruno
Je vais t'avouer un truc.
De toute ma longue vie,je ne me suis jamais servi de l'hypothénuse d'une équerre! Je croyais naïvement que cet engin ne servait qu'à tracer des angles droits. Tout ça pour te dire que cette hypothénuse ne sert à rien dans ma construction.
Evidemment, cette construction est purement théorique car si les droites $AB$ et $A'B'$ sont presque parallèles, certains points de la construction peuvent se retrouver facilement du côté de Sirius!
Disons qu'avec Cabri, tu ne te sers que des outils "droite et "perpendiculaire".
Très amicalement
Pappus
Sans préjuger de la réponse de Pappus, je suppose qu'il s'agit d'une équerre ... à 90°
Et certes la construction à la règle et la "perpendiculaire" seulement est aisément déductible de la construction classique citée... bien sûr sans tracer les cercles eux même.
La 1ère partie (construire S) est là :
Je sais bien que les tracés sont tout théoriques, dès qu'on essaye de les réaliser en vraie grandeur cela devient impossible : essaye donc de faire l'épure d'un dodécaèdre en vue de dessus : tu as rapidement un gros trou dans la feuille du à de multiples tracés de cercles de même centre. J'ai même encore dans ma boite à compas un petit disque à trois pointes en plexiglas destiné à éviter ce fameux trou.
Tout cela ne résoud pas le problème
Bruno
Bravo chephip.
Bruno
-- Schnoebelen, Philippe
Bien sûr, il y a des tas de courbes qu'on sait tracer points par points par des moyens adéquats: règle équerre, compas et il n'y a pas que les courbes du second degré.
Mais trouver leurs intersections est une autre affaire bien plus délicate.
Avec un logiciel comme Cabri, il n'y a pas de problème. On appuie sur une touche et pour le plus grand plaisir de Bruno, on verrait apparaître un beau dodécaèdre sans le moindre trou au milieu de la feuille.
Cabri sait intersecter les coniques et tu peux faire ainsi des tas de nouvelles constructions impossibles à la règle et au compas comme la trisection de l'angle et je pense aux quelques malheureux qui sur le forum s'escriment encore sur ce sujet. Faut-il avoir du temps à perdre!
En ce qui concerne cette figure sur la similitude directe, ces constructions sont fort connues et font intervenir des cercles comme le soulignait Bruno.
En fait la construction que je donne est une petite plaisanterie.
Une similitude est une application affine et j'ai simplement utilisé la construction générale du point fixe d'une application affine dans ce cas particulier.
Très amicalement
Pappus
Et même
On s'en fiche ! la construction marche avec une "équerre quelconque", pas forcément un angle de 90° !
C'est à dire tracer un angle de x° constant.
Les cercles jaunes ne sont là que pour faire zoli, la construction est uniquement avec "angle = x°", x étant ici fixé à 50°.
J'ai aussi tracé les cercles de Bruno.
Amicalement
Pappus
J'ai aussi tracé les cercles de Bruno, quoiqu'ils n'interviennent pas dans la construction mais plutôt dans sa preuve.
Amicalement
Pappus
PS
Je rappelle qu'il ne faut surtout pas retourner la $\theta$-équerre après son premier usage.
Impeccable ta figure, il manque encore quelques indications "utiles" d'angles, mais on peut les retrouver sans problème.
Ma construction n'exposait que la construction du centre O (appelé S chez moi), pas celle de la transformée de M.
Par contre hum...
Si je retourne mon équerre, j'obtiens en fait le même angle physique !
Ce qui est important c'est quel côté on utilise pour tracer et quel coté sert de "guide".
En fait, prenons déjà la construction du centre O :
Tracer la droite à +theta de AB passant par A, la droite à +theta de AB passant par B etc...
Jusqu'au moment où on est amené à tracer ...
la droite IO faisant l'angle -theta (!) avec alpha'-beta'
C'est à dire construire IO telle que l'angle de alpha'-beta' avec IO soit de +theta
Ici on connait alpha'-beta' et il faut construire IO et non l'inverse.
Il faut donc "retourner" l'équerre, pour cette seule droite.
En fait échanger le rôle des côtés de l'équerre, en la retournant physiquement ou non.
Sinon, pour voir la construction de Pappus (90°) modifiée chephip (theta quelconque) en action = applet dynamique :
equerre
Amicalement.
Philippe
Voilà quelque chose que je suis incapable de faire et je suis trop vieux pour l'apprendre. Dommage pour mes milliers de figures Cabri!
Effectivement, il faut, comme tu le dis, distinguer les deux côtés de l'équerre et il est amusant de souligner qu'on peut faire une construction juste avec une équerre fausse!
Très amicalement
Pappus
-- Schnoebelen, Philippe
Amicalement
Pappus
un grand UP pour ce vieux fil, cité dans "Transformation affine plane" de Pappus
Cordialement JLB
A siroter en attendant la deuxième vague!
Amicalement
[small]p[/small]appus
Merci.
Cordialement.
Amateur
Oui!
Mais contente toi de lire cette discussion à laquelle on ne peut rien rajouter!
Amicalement
[small]p[/small]appus
Dans le fil voisin, je crois que tu insistes sur le fait que cette construction vient de ce qu'une similitude directe est affine.
J'aimerais déjà comprendre comment il se fait que $\alpha\beta$ passe par $O$.
Dans Lebossé-Hémery, je lis les choses suivantes.
Rotation p. 87 : la bissectrice extérieure de l'angle de deux axes homologues passe par le centre de rotation.
En vue de ce qui suit, je traduis par : Le centre de rotation appartient aux droites lieux des points dont le rapport des distances orientées à deux axes homologues $\overrightarrow{\alpha A'}$ et $\overrightarrow{\alpha A}$ est égal à 1.
Homothétie p. 140 : Le lieu des points dont le rapport des distances orientées à deux axes est constant est une droite, issue du point d'intersection de ces deux axes s'ils sont concourants.
Similitude p. 149 : Le centre de similitude appartient aux droites lieux des points dont le rapport des distances orientées à deux axes homologues $\overrightarrow{\alpha A'}$ et $\overrightarrow{\alpha A}$ est égal à $k$, le rapport de la similitude.
Pourtant, même en invoquant ces belles sentences, je n'ai pas trop l'impression d'avoir montré que $O$ appartient à $\alpha\beta$.
Quelqu'un pour m'aider à entendre ce génial "Deux parallèles coupent leurs homologues en deux points qui sont alignés avec le centre" ?
Amicalement,
Swingmustard
P.S. Ni la phrase dans Wikipédia "Elle (la méthode de construction par deux carrés semblables) utilise le fait que, dans une similitude directe de centre I, les droites (MM’) et (NN’) sont parallèles si et seulement si les points I, M et N sont alignés ainsi que les points I, M’ et N’ " (je ne la comprends pas, je crois, heureusement le dessin me semble plus clair), ni le document d'André Calame ne m'ont permis de répondre à cette question.
Correction le 5 septembre. Je comprends désormais la propriété énoncée sur Wikipédia. Ici elle s'applique à I, M, M', N, N' égaux à $O,\alpha,\alpha',\beta,\beta'$. Hélas je n'en connais pas d'autre démonstration que... ce que fait Truffault et que je présente dans le message d'après.
Il est vrai que c'est une propriété qui n'a rien à voir avec la géométrie euclidienne.
Je la formulerai ainsi à ta façon!!
Soit $f\ $ une transformation affine (du plan affine) ayant un unique point fixe $\Omega\qquad$
Soit $L_1$ une droite du plan telle que l'intersection $\Omega_1=L_1\cap f(L_1)\ $ existe.
Soit $L_2$ une autre droite quelconque parallèle à $L_1\qquad$.
Alors l'intersection $\Omega_2=L_2\cap f(L_2)\ $ existe.
De plus les points $\Omega\ $, $\Omega_1\ $, $\Omega_2$ sont alignés.
Trois points alignés, tu te rends compte!!!!!
C'est vraiment un théorème extatique.
Mais pourquoi déterrer ce vieux fil qui demandait seulement qu'on lui fiche la paix!!!!!
A quoi bon?
Il ne nous reste plus que l'axiome de Thalès!
Pourtant j'ai nettement l'impression que cet axiome suffit amplement à prouver ce théorème!!!
Amicalement
[small]p[/small]appus
On dirait que Truffault "Géométrie élémentaire" pages 108 à 111 répond un peu à mes angoisses.
Rappel des données : $A, B$ et $A'=f(A), B'=f(B)$ leurs images par la similitude $f$, telles que
$(AB)$ soit sécante avec $(A'B')$. On cherche le centre $O$ de $f$ en n'utilisant pas les cercles, et on suppose le rapport $k\neq 1$.
Premier dessin : nous sommes capables de tirer des données une ligne brisée bleue, et son image en rouge.
Nous n'aurions pas l'impression d'avoir avancé, si l'idée merveilleuse de nous arrêter à $\alpha, \beta, \alpha', \beta'$ au moment de croiser les parallèles rouges n'avait fait de ces quatre points deux couples thalèsiens (en vert).
Je crois ne pas trahir Truffault en prétendant qu'il dit ceci. Comme $(\alpha \alpha')//(\beta\beta')$, si de plus on avait $(\alpha\beta )//(\alpha'\beta')$, alors $\alpha,\alpha',\beta,\beta'$ seraient les sommets d'un parallélogramme, d'où $\alpha\beta=\alpha'\beta'$, ce qui n'est pas, car $k\neq 1$.
Donc $(\alpha\beta )$ et $(\alpha'\beta')$ sont sécantes en un point $O$, tel que $\dfrac{\overline{O\alpha}}{\overline{O\beta}} =\dfrac{\overline{O\alpha'}}{\overline{O\beta'}}$. (Théorème de Thalès, merci pappus ;-))
Il en déduit que ce point coïncide avec son image par $f$, c'est donc le centre de $f$.
À part ça, cher pappus, si on s'autorisait d'autres outils (affines, hein, sans les cercles) que le théorème de Thalès, n'aurais-tu pas un moyen plus rapide (car Truffault m'a quand même bien fait transpirer, je ne pense pas que j'aurais trouvé seul de pareilles idées) de montrer l'alignement de $O,\alpha$ et $\beta$ ?
Autres regrets : on a raisonné par l'absurde (je n'ai rien contre, mais ça fait moins "direct"), et surtout, on a été obligé de construire $\alpha'$ et $\beta'$, alors que je ne m'intéressais qu'à $O, \alpha$ et $\beta$, au départ. Modifié. Dernier aveu : je triche un peu en dessinant le même angle en $A$ et en $A'$ (vrai), l'air de dire "ainsi je trouve $\beta'$ etc..." S'il était si simple de reproduire des angles, on n'en serait pas là, on construirait des triangles semblables sans tout ça.
Amicalement,
Swingmustard
Concernant ma première figure de ce fil parue il y douze ans, la droite $\alpha\beta\ $ porte un nom dans la littérature.
Il s'agit de la droite des divisions proportionnelles, article 10.10, page 76, La géométrie du triangle, Trajan Lalesco, datant de 1916.
On a donc eu largement le temps de l'oublier.
Comme les similitudes sont des transformations affines, toute construction des points fixes d'une transformation affine reste évidemment valable pour les similitudes.
Sur ce sujet voir ce fil datant de la même époque:
Transformation affine plane
Mais j'ai abordé ce thème dans beaucoup d'autres discussions!
Amicalement
[small]p[/small]appus
Désolé d'avoir insisté sur un thème dont je ne réalisais pas que tu l'avais abordé si souvent.
Je continue de trouver merveilleuse cette propriété d'alignement, pour les applications affines, des points d'intersection entre certaines parallèles et leurs homologues.
D'autant plus maintenant que tu as bien montré que cela n'a rien à voir avec l'existence ou pas d'un point fixe !
Un grand merci pour le lien, et pour la référence Lalesco !
Amicalement,
Swingmustard