Nombres premiers et progression arithmétique

Je ne pense pas que l'on sache répondre à ta question.

Si $p$ est un nombre premier, on sait, d'après le théorème de Linnik, que le plus petit nombre premier congru à $1$ modulo $p$ est $O(p^L)$ pour une certaine constante absolue $L$ (il me semble que l'on est aux alentours de $5$ inconditionnellement), et c'est le meilleur résultat connu. En particulier, on sait tout au plus borner le plus petit $k$ par $O(p^{L-1})$. Sous l'hypothèse de Riemann généralisée, la borne devient de l'ordre de $(p \log p)^2$, ce qui donne $k$ de l'ordre de $p (\log p)^2$, bien loin de ce que tu attends.

J'affirme que pour tout nombre premier $p$ et pour un $k$ naturel donné, il n'existe qu'un nombre fini de nombres premiers de la forme $(2 k + 1) p + 1$.

La plupart des autres résultats sont effectivement à l'état de conjectures.

À bientôt.

Khattab, je n'ai fait que majorer : si $k < \log p$ et $p \leqslant x$, alors $k < \log x$.

Pour un k donné...

À bientôt.

Khattab a écrit:

tu n'aurais pas un raisonnement heuristique.

Tu cherches à estimer
$$\frac{1}{\pi(x)} \sum_{\substack{p \, \textrm{et} \, kp + 1 \, \textrm{premiers} \\ e^k < p \leqslant x}} 1.$$
Comme je ne passe plus beaucoup de temps ici, j'ai uniquement cherché des majorations de cette somme, notamment en virant la condition $p > e^k$, plutôt difficile à traiter.

En général, les majorations (ou minorations) des méthodes de crible modernes donnent peu ou prou le bon ordre de grandeur. Ainsi, je serais tenté de dire que, heuristiquement, la densité que tu cherches devrait être proche de $\dfrac{k}{\varphi(k) \log x}$, obtenue dans mon message plus haut.

Remarque pour Dreamer. En théorie des nombres, on n'utilise pratiquement que le logarithme naturel, et il est de tradition de prendre la notation $\log$ pour celui-ci, les autres logarithmes n'étant (pratiquement) jamais utilisés. Très peu d'auteurs utilisent le $\ln$ scolaire, alors que l'arithméticien Olivier Ramaré, par exemple, utilise le $\textrm{Log}$ (avec "L" majuscule), très présent dans les lycées des années 70. De même, une convention établie depuis au moins Edmund Landau est que toute somme ou produit indicé par la lettre $p$ (voire $q$) ne porte exclusivement que sur les nombres premiers.