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Intersection dans un groupe

Bonjour,

Soit $\alpha$ et $\beta$ deux réels compris entre $0$ et $1$. Soit $E(\alpha,\beta)$ l'énoncé suivant: pour tout groupe $G$, il existe une partie $P\subset G$ telle que l'élément neutre de $G$ n'appartient pas à $P$, telle que $|P| \leq \alpha |G|$, et telle que, si $H$ est un sous groupe de $G$ non réduit à l'élément neutre, et si $|H| \geq \beta |G|$, alors $P \cap H \neq \emptyset$.

Est-ce que $E(1/2,1/2)$ est vrai ? Est-ce que $E(1/2,1/4)$ est vrai ?
Quelle est la borne inférieure du produit $\alpha \beta$ pour les couples $(\alpha, \beta)$ tels que $E(\alpha, \beta)$ est vrai ?

Merci d'avance.

Réponses

  • Bonsoir Marco.

    "Pour tout groupe $G$" dit que ça doit être le cas pour le groupe à un élément $\{e\}$. Dans ce cas, $P=\emptyset$ et la condition finale est toujours fausse.

    Cordialement.
  • Merci Gerard0 pour ta réponse, mais si $G=\{e\}$, il n'y a pas de groupe $H$ non réduit à l'élément neutre, donc la proposition "si $H$ est un sous-groupe de $G$ non réduit à l'élément neutre, etc..." est toujours vraie, car le premier terme $A$ dans "si $A$ alors $B$" est faux, donc "si $A$ alors $B$" est vraie.
    Il est vrai que j'aurais du écrire "... et telle que, pour tout sous-groupe $H$ de $G$, si $H$ est non réduit à l'élément neutre, et si $|H| \geq \beta |G|$, alors $P \cap H \neq \emptyset$".
  • Une remarque: pour tout $\alpha <1/2$, $E(\alpha, \beta)$ est faux. En effet, soit $G=\Z/ 2 \Z$, alors il n'existe pas de partie $P$ de cardinal $<\alpha |G|$, à part la partie vide. Mais alors si $H=G$, $H$ est non réduit à l'élément neutre, et $P\cap H=\emptyset$.

    Mais, ça ne prouve pas que la borne inférieure des $\alpha \beta$ est nulle.
  • Ah, effectivement.
  • Peut-être est-il plus naturel de chercher la borne inférieure de l'ensemble $\{\alpha+\beta ~|~E(\alpha,\beta)\}$, plutôt que le produit $\alpha \beta$.
  • $E(1/2, 1/2)$, et a fortiori $E(1/2, 1/4)$, est fausse. Dans $G = (\mathbb Z/2\mathbb Z)^2$, les parties à au plus deux éléments et ne contenant pas $(0, 0)$ sont les singletons et les paires $\{(0, 1), (1, 0)\}, \{(0, 1), (1, 1)\}, \{(1,0), (1, 1)\}$. Dans tous les cas, on trouve un sous-groupe d'ordre $2$ ne rencontrant pas $P$ en prenant le sous-groupe engendré par un élément non neutre n'appartenant pas à $P$.
  • Merci Poirot, je n'y avais pas pensé.
  • En considérant $(\Z/2\Z)^k$, on montre de la même façon que $E(\frac{2^k-2}{2^k},\frac{2}{2^k})$ est faux.

    On peut aussi se poser la question pour les groupes de cardinal suffisamment grand, c'est-à-dire que l'on définit, pour $0< \alpha<1, 0< \beta <1, n \in \N^*$, l'énoncé suivant $E(\alpha, \beta,n)$: pour tout groupe $G$ de cardinal supérieur ou égal à $n$, il existe une partie $P\subset G$ telle que l'élément neutre de $G$ n'appartient pas à $P$, telle que $|P| \leq \alpha |G|$, et telle que, si $H$ est un sous groupe de $G$ non réduit à l'élément neutre, et si $|H| \geq \beta |G|$, alors $P \cap H \neq \emptyset$.

    Est-ce que $E(1/2,1/2,n)$ est vrai pour un certain $n\in \N^*$?
  • Si $P=\emptyset$, c'est bon non?
  • Si $P= \emptyset$, alors $P \cap H= \emptyset$, mais on veut $P \cap H \neq \emptyset$.
  • $E(1/2,1/2,6)$ est vrai.
    En effet, soit $G$ un groupe de cardinal $\geq 6$.

    Supposons $G$ de cardinal pair. Alors, on choisit dans $G$ trois éléments distincts deux à deux et différents de l'élément neutre $x,y$ et $xy$. Ce qui est possible si le cardinal de $G$ est $\geq 4$. On construit une partie $P$ contenant $xy$, mais ni $x$, ni $y$, ni $e_G$, telle que le cardinal de $P$ soit $|G|/2$, ce qui est possible si $|G|\geq 6$.
    Soit $H$ un sous-groupe de $G$ de cardinal $\geq |G|/2$, alors, si $P\cap H=\emptyset$, alors $H=G \setminus P$, donc $x,y \in H$ et donc $xy \in H$, or $xy \in P$, contradiction. Donc $P \cap H\neq \emptyset$.

    Si $G$ est de cardinal impair, alors tout sous-groupe $H$ de cardinal $\geq |G|/2$ est égal à $G$, donc si $P\neq \emptyset$, $P \cap H\neq \emptyset$.
  • On peut donc sûrement montrer de la même façon $E(\alpha, \beta,n)$ vrai pour $\alpha+ \beta \geq 1$ et pour un certain $n$.
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