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Extremum relatif

Bonsoir,

Il n'y a pas un problème dans la définition du maximum relatif ? $x$ n'est pas un maximum, c'est $f(x)$ non ?

Question $1.a$ :

$f_{E(f)}$ est injective. Donc $\forall (x,y) \in E(f)^2 \ \ f(x)=f(y) \implies x=y$

Soient $(x,y) \in E(f)^2$.126454

Réponses

  • On dit bien que $f$ est maximale en $x$ ou encore que $x$ est un maximum de $f$ ;-)
  • Je suis d’accord que l’extrait contient une erreur : c’est $f(x)$ qui est maximum relatif et non $x$.
  • Il est vrai que moi je n'aime pas trop ce raccourci, qui est courant, je préfère dire que $f(x)$ est un (le) maximum de $f$, et que $x$ est un point qui maximise $f$ (ou point de maximum de $f$).

    Cependant ce raccourci est, me semble t-il, un usage communément admis dans la communauté des optimiseurs et plus généralement en maths.

    Un autre raccourci que je n'aime pas, écrire une équa diff sous la forme $y'=f(x,y)$ (mélanges entre fonctions et évaluations en $x$), mais c'est un usage communément admis et très pratique.
  • D'accord merci.

    J'essaie de résoudre la question 1.a. Je ne dispose d'aucune solution.

    On raisonne pour le maximum, le raisonnement est identique pour le minimum.

    Soient $(x,y) \in E(f)^2$.
    Alors il existe $(\varepsilon_1,\varepsilon_2) \in \R^{+*}$ tels que $\forall z \in ]x-\varepsilon_1,x+\varepsilon_1[$ on ait $f(z) \leq f(x)$ et $\forall z' \in ]y-\varepsilon_2,y+\varepsilon_2[$ on ait $f(z') \leq f(y)$

    Soient $z \in ]x-\varepsilon_1,x+\varepsilon_1[$ et $z' \in ]y-\varepsilon_2,y+\varepsilon_2[$ de sorte que $z \ne x$ et $z' \ne y$.

    Montrons que $f(z) < f(x)$ et $f(z') <f(y)$. Il suffit de montrer que $f(z) \ne f(x)$ et $f(z') \ne f(y)$.

    Je veux utiliser que la restriction $f_{E(f)}$ étant injective mais je ne vois pas comment. En effet, $z$ n'appartient pas forcément à $E(f)$ :-S

    On sait juste que $\forall (u,v) \in E(f)^2 \ \ f(u)=f(v) \implies u=v$.
  • Avec tes notations tu sais que pour tout $z \in\, ]x-\varepsilon_1,x+\varepsilon_1[$, $f(z) \leq f(x)$. Suppose qu'il existe $z\in\, ]x-\varepsilon_1,x+\varepsilon_1[$ tel que $f(z) = f(x)$, est-ce qu'on peut dire que $z\in E(f)$ ? Conclure...
  • D'accord merci.

    S'il existe $z \in ]x-\varepsilon_1,x+\varepsilon_1[$ tel que $f(z)=f(x)$ alors on clairement $z \in E(f)$.

    L'injectivité de $f_{E(f)}$ implique que $z=x$. Ce qui est impossible car on a supposé $z \ne x$.

    On a montré $\forall z \in ]x-\varepsilon_1,x+\varepsilon_1[ \ \ f(z) \ne f(x)$ . Ce qui termine la question.

    Le rapport du jury dit qu'on peut aussi résoudre la question en utilisant que $E(f)$ est fini mais que la méthode qui utilise l'injectivité est la plus efficace.

    J'essaie cette deuxième méthode. Si $E(f)$ est fini, alors notons $E(f)= \{ x_1, \cdots, x_p \}$ l'ensemble fini des maximums relatifs de $f$.

    $\forall x_i \ \ \exists \varepsilon_i \in \R^{+*} \ \ \forall z_i \in ]x_i-\varepsilon_i,x_i+\varepsilon_i[ \ \ f(z_i) \leq f(x_i)$

    Soit $i \in [|1,p|]$ tel que $z_i \ne x_i$. Montrons que $f(z_i) \ne f(x_i)$.

    Je ne vois pas comment utiliser la finitude de $E(f)$.
  • Ça me paraît mille fois plus intuitif d'utiliser la finitude mais bon...

    Fais un dessin bordel
  • Je ne vois pas comment faire avec la finitude de $E(f)$. Le dessin ne m'a pas aidé.
  • Quelle propriété topologique possède un ensemble fini ? Qu'en déduire sur $E(f)$ ?
  • Tout ensemble fini est un fermé.

    Donc $E(f)$ est un fermé.

    Mais je ne vois pas le rapport avec ce qu'on veut montrer.
  • @OShine tu es sûr de ne pas voir pourquoi si $E(f)$ est fini les extremums sont stricts ? Car là c'est presque évident...
  • Encore une fois le problème est ton manque de culture mathématique due au fait que tu n'aies jamais rien fait par toi-même. Le fait de commencer le raisonnement "on recopie les hypothèses et on regarde ce qu'on veut", qui est évidemment très bien, mais sans aller plus loin, un peu comme on le voit dans les premiers chapitres de cours de mpsi ou licence (les trucs type "Comment montrer que f est injective : supposer que f(x)=f(y)") témoigne de l'attitude d'un débutant, qui découvre tout juste ce que c'est de résoudre un exercice.
    Par exemple tu n'as pas idée à quel point le fait d'imposer cette finitude se révèle salvateur. On fait beaucoup de raisonnements basiques qu'on analyse faux après relecture justement parce que la non finitude donne des cas pathologiques de différents genres (en gros il y aurait deux gros cas ici).

    Peux-tu nous faire un dessin pour lequel cet ensemble serait infini alors ?
  • Le fait que S est fini et que la restriction de $f$ à $S$ est injective doit suffire.

    Tu prends deux éléments de $S$ et tu regarde leur image par $f$
  • Dans un exercice, la question 1a est toujours une mise en bouche, c'est la question facile, que tous les élèves sont censés savoir faire.
  • OShine : si tu te souviens, en message privé je t'avais expliqué qu'il devrait devenir naturel pour toi de décomposer tes difficultés face à un exercice en "sous-exercices". Ici, ce n'est pas compliqué.

    Si $E(f)$ désigne l'ensemble des points où $f$ atteint un extremum relatif, il peut se passer deux choses : soit $E(f)$ est fini, soit il est infini. A toi de voir si tu arrives à visualiser la différence. Essaie de dessiner deux fonctions continues, $f$ et $g$, définies sur un intervalle $[a;b]$, dont le seul extremum relatif sur $[a;b]$ serait $0$ (je parle de la valeur $f(x)$, pas du $x$ où il est atteint), mais telles que $E(f)$ est fini (disons de cardinal $2$) et $E(g)$ est infini. Montre-nous tes dessins.

    On te l'a dit plein de fois : fais des dessins. Nous on les fait tous aussi, parfois on dessine les choses de tête parce qu'on comprend assez bien, et parfois on sort une feuille et un crayon et on dessine à la main. C'est important !

    Petit aparté : moi, ma méthode de travail est la suivante. Je me dis que je comprends une notion si je suis capable de l'exposer à quelqu'un d'autre. Je ne suis pas le seul à travailler comme ça, les oraux de concours se basent pas mal sur ce principe, et il y a bien une raison. La première chose qu'on dit, quand on expose à quelqu'un d'autre un truc qu'on estime hyper simple, c'est "je ne vais pas te faire un dessin, quand même !". Pareil, il y a une raison. Nous sommes des animaux très visuels. Alors face à un exercice, essaie de faire un dessin du truc. Systématiquement. Si tu n'y arrives pas, c'est que tu ne comprends pas une notion. Et le dessin te permettra d'identifier ce que tu ne sais pas ou ce dont tu n'es pas sûr, et là tu pourras poser une question ciblée au forum. Tu avanceras mieux. Là, ta façon de faire, c'est souvent celle de l'élève qui dit "m'sieur, je comprends rien" mais qui est incapable de cibler ce qu'il ne comprend pas parce qu'il n'essaie pas.
  • @Geo

    Rapport du jury : "cette question a été traitée dans la quasi-totalité des copies. Environ la moitié la résolvent complètement, soit en utilisant l'injectivité de la fonction sur l'ensemble de ses extremums, soit en exploitant la finitude de cet ensemble. La première solution était la plus efficace.
    Un raisonnement par l'absurde supposant l'existence d'un extremum relatif non strict et exhibant une suite d'extrema relatifs demandait un peu de soin : il fallait bien s'assurer que cette suite prend une infinité de valeurs pour obtenir une véritable contradiction."


    @RLC
    Oui je débute tout juste à essayer de faire des questions sans corrigé. Avant j'avais toujours un corrigé sous la main.

    @Raoul.S
    Je ne trouve pas.
    J'aimerais faire la contraposée mais je n'arrive pas à traduire le fait qu'un extremum n'est pas strict.

    Voici un dessin où $E(f)$ est infini.126486
    2.png 660.9K
  • @Homo Topi

    Pour la fonction définie sur $\R$, par $f(x)=\cos(x)$ on a $E(f)$ infini. En effet, la fonction est périodique et il y aura une infinité de maximums et minimums relatifs.

    Pour la fonction définie sur $\R$ par $g(x)=x^2$, $E(f)$ est fini de cardinal $1$.

    @Lourran
    C'est une épreuve de très haut niveau.
  • C'est tiré de quelle épreuve?
  • Ens maths D 2020.
  • OShine je te redonne ça http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,2296402,2296444#msg-2296444 comme indication, elle convient également pour le cas fini.

    Remarque : la continuité de $f$ ne joue aucun rôle pour le moment.
  • Pour le coup, pour revenir à la question. On dit, en général que $f$ présente un extremum en un point $x$. Par ailleurs, on rencontre souvent cet abus de langage. Donc non il n'y a pas vraiment de problème et tout le monde avait compris que $E(f)$ est l'ensemble des réels où $f$ présente un extremum.
  • OShine fait des épreuves d'ENS ? Tu te moques du monde ? Tu vois bien que tu coinces déjà sur la toute première question, c'est complètement absurde. Reprends avec des exercices de lycée, comme tout le monde te dit depuis des mois/années.
  • @Raoul.S

    D'accord merci.

    On sait que pour tout $z \in\, ]x-\varepsilon_1,x+\varepsilon_1[$, $f(z) \leq f(x)$. Supposons qu'il existe $z\in\, ]x-\varepsilon_1,x+\varepsilon_1[$ tel que $f(z) = f(x)$.

    Si $z \ne x$ alors :-S

    Je ne vois pas où faire intervenir que $E(f)$ est fini.
  • ENS, Centrale, Mines, agrégation interne ça change rien. Je bloque tout le temps :-(

    Bon je dois quand même savoir faire les 5 premières questions de Centrale maths 2 2021 sur les polynômes de Tchebychev.
  • Si $z \ne x$ alors $z\in E(f)$ et en réduisant la longueur de l'intervalle autour de $x$ tu peux t'arranger pour que $z$ sorte de l'intervalle... bref vas-y il faut te mouiller.
  • Bon, l'intérêt de la finitude de S(f), c'est qu'on peut considérer plusieurs maximums successifs. Donc il y en a un avant, et un après $x$.
    L'hypothèse de finitude ne sert qu'à ça.
  • Tu bloques tout le temps parce que ce ne sont pas des exercices de collège/lycée. Fais des exercices plus simples, jusqu'à ce que tu en aies fait suffisamment en entier sans le corrigé, et justes.

    Tu n'as même pas répondu correctement à ma question. Je te demandais deux fonctions définies sur un intervalle fermé $[a;b]$. Je sais très bien que le cosinus atteint ses extrema une infinité de fois, ce n'était pas l'intérêt de la question. Je te demandais des dessins simples juste pour te faire voir un truc. donc dessine-moi une fonction continue sur un intervalle fermé $[a;b]$, dont $0$ est un minimum atteint une infinité de fois.
  • "Exo tiré de ENS"
    "D'après les rapports du jury"

    Oshine qui retombe dans ses travers...j'aurais été modo pour ton bien j'aurais fermé le sujet :-D
  • Il y a 6 mois, tu galérais sur des exercices kangourou, collège. Puis, il y a 3 mois, tu as passé 2 ou 3 semaines sur le sujet de concours général. Tu n'as pas su faire 5% des questions tout seul. Et comme tu n'es pas capable de faire des exercices de niveau collège++ ni lycée++, tu choisis quoi ? des exercices de niveau ENS.

    A part ça, tout est logique.
  • Je ne suis pas si nul que ca seul la moitié des candidats a réussi la question 1.a et seulement 200 candidats sur 1500 ont réussi la 1.b.

    Les ens c'est dur dès le début.
  • La 1.a est vraiment simple pour quelqu'un qui s'entraîne sur les sujets des ENS. Il faut rester humble, peut-être que si tu l'avais été depuis le début en écoutant les conseils des forumeurs, tu aurais aujourd'hui le niveau pour faire ce sujet sans difficultés. Tu dis que tu n'es pas si nul que ça, mais être nul c'est pas de s'attaquer à moins que des épreuves de concours (en particulier celles des ENS), et si pour toi c'est suffisant pour être nul et bien désolé de t'apprendre que tu l'es puisqu'encore une fois la 1.a est vraiment simple pour un prétendant aux ENS.
  • Grenouille factorielle, laisse tomber. Il utilise systématiquement les rapports de jury et le supposé niveau des autres pour justifier que c'est normal de ne pas réussir une question, aussi simple soit-elle. Il a décidé que la question est difficile, alors elle est difficile.
  • Tu te contredis Oshine alors. Si ENS c’est si dur dès la première question, pourquoi faire de tels sujets ?
    Vraiment, pour ma sérénité personnelle, ça fait déjà 1 an que je te réponds moins voire plus et j’encourage tout le monde à faire de même voire à la modération d’agir.
    On est reparti pour 1 an de grand n’importe quoi. On peut toujours espérer que tu bosses vraiment tes cours de collège/lycée mais j’y crois peu. Et là, on arrive aux limites du forum car comme je l’ai dit plusieurs fois, je pourrais davantage t’aider si je t’avais en face en mode « cours particulier » pour jeter tes bouquins, et te cuisiner de manière «instantanée » sur des petites choses simples et élémentaires.
  • O Shine a écrit:
    Je ne suis pas si nul que ca
    Si !
    Et tu en fais la preuve année après année. Pour les nouveaux, tu fais illusion en récitant ou imitant des passages mathématiques que d'autres ont traité pour toi. Et ceux qui te connaissent posent des questions élémentaires auxquelles tu n'es pas capable de répondre.
    Arrête de frimer; ça ne sert à rien.
  • Gérard, si il a réussi le CAPES( même une année ou il n'y avait pas d'oral) c'est qu'il a quelques capacités.

    @Oshine; La première question est une trivialité. Tu devrais regarder la question 2 de la partie IV, elle est intéressante.
  • Tu as décroché ton CAPES donc bon, force est de constater qu’il y a pire que toi. Mais rapporté au temps passé personnellement à faire des exos/sujets, potasser tes bouquins, intervenir sur le forum, tu es clairement très peu rentable et efficace et on peut sans doute supposer que beaucoup de gens s’en sortiraient mieux que toi avec un tel investissement ne serait-ce qu’en suivant les conseils qu’on te donne depuis 3 ans maintenant (?). Donc relativement au temps ici, on peut dire que tu n’es pas fait pour ça. Quand à te qualifier de nul ou de stupide, je ne pense pas que ça fasse avancer les choses. On sait tous ce qu’on doit penser de quelqu’un qui passe sa vie ici à ne pas suivre les conseils et qui ne progresse pas depuis 3 ans en conséquence. Je te mets quand même au dessus de Pablo qui lui arnaque et mythonne a foison là où tu es plus sincère et authentique quand tu ne sais pas faire. Mais sinon, vous essayez tous les deux de courir sans savoir marcher, et vous ignorez constamment les messages positifs d’amélioration, et de conseils. En tout cas, en moins d’une semaine de rentrée, on a retrouvé tous tes défauts et toutes tes posts réguliers donc pas de changements et je suis totalement défaitiste sur ton cas, tu ne changeras jamais.
  • C'est vrai qu'il faut s'accrocher pour comprendre la cohérence de ce qu'OShine essaie d'établir ici.
    • ce n'est pas un concours qu'il vise.
    • ce n'est pas un point précis de culture mathématique qui l'intéresse. Par exemple, d'après le rapport, ce sujet d'Ulm "défini[t] et étudie la «forme» des graphes de fonctions «simples» de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$" et s'inspire de résultats d'assez grands mathématiciens: Vladimir Arnold, Donald Knuth, René Thom ... ce qui pourrait être une motivation en soi pour s'y frotter.
    • ce ne sont pas des connaissances générales qu'il cherche à consolider (puisqu'il prend des exercices, des sujets pour voir comment il performe, statistiques des rapports à l'appui pour se positionner parmi les candidats - souvent assez nuls à l'écouter).
    • ce n'est ni pour s'amuser, ni pour se détendre (combien de fois a-t-il explicitement parlé de sa souffrance de faire des maths ?).

    Je te souhaite simplement de t'épanouir, physiquement, intellectuellement, personnellement.
  • OShine écrivait : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,2296402,2296542#msg-2296542
    [Inutile de recopier un message présent sur le forum. Un lien suffit. AD]
    Si tu ne vois pas le rapport c'est peut être que ce n'est pas ça qui est attendu.
    Donc peut être qu'il faut réfléchir un peu plus ?
    Le fait qu'un ensemble fini soit discret ça te parle ?
  • Amédé a écrit:
    Gérard, si il a réussi le CAPES( même une année ou il n'y avait pas d'oral) c'est qu'il a quelques capacités.
    Tu me rappelle cet étudiant de première année d'IUT qui me disait : "je suis bon en maths, j'ai eu 14 en maths au bac". Et qui ne savait pas dériver $x\mapsto x^2$. Lui aussi, puisqu'il avait eu une bonne note (bien meilleure que celle d'OS), "c'est qu'il a quelques capacités".
    Dans les deux cas, ce sont de bons reproducteurs (comme on dit dans mon Charolais). Ils font illusion parce qu'ils sont capables de faire par imitation. C'est leur principale capacité, et c'est un piège, car, au cours de leurs études, ça leur permet de réussir longtemps sans jamais construire une culture mathématique. Mais dès qu'il faut faire preuve d'initiative, plus rien.
    L'étudiant était en apprentissage, son patron nous a demandé de ne pas lui accorder de redoublement, car dans l'entreprise, il était encore plus faible, incapable de la moindre initiative.

    Cordialement.
  • Amédé a écrit:
    @Oshine; La première question est une trivialité. Tu devrais regarder la question 2 de la partie IV, elle est intéressante.

    Amédé je ne te comprends pas. OShine n'arrive pas à résoudre cette question, qui est triviale, et montre ainsi les lacunes qu'il se traîne derrière depuis des années, et tu lui conseilles de passer à une question plus difficile simplement car elle est plus intéressante... et ses lacunes sont censées disparaître comme par magie ?
  • C'est tout le problème.
    Pour ne pas traumatiser nos petits enfants, on ne leur dit jamais qu'ils sont faibles en telle ou telle matière.
    Pendant toute sa scolarité, on a laissé croire à OShine qu'il était doué en maths. Et il le croit toujours.


    OShine,
    Quand un lycéen pose des questions, on comprend son intention, il veut obtenir son bac.
    Toi, quand tu poses des questions sur des exercices de ce type, quel est ton intention ? Tu cherches à t'améliorer comme prof de collège ? Tu comptes te préparer pour repasser le CAPES ?
    Ou peut-être que ton plan, c'est de lire des réponses sur des exercices d'ENS sur ce forum, parce que ça pourrait t'aider à apprendre à faire des exercices de lycée ?
  • Je ne comprends pas cette remarque :

    "Bon, l'intérêt de la finitude de S(f), c'est qu'on peut considérer plusieurs maximums successifs. Donc il y en a un avant, et un après $x$. L'hypothèse de finitude ne sert qu'à ça."

    @Homo Topi
    Pourquoi tu parles de fonctions définies sur un segment alors que le sujet parle de fonctions définies sur $\R$ ?

    @Lourran
    Les épreuves d'ENS maths D rassemblent les 1300 étudiants les meilleurs de France en mathématiques, et la moitié de ces 1300 ne savent pas faire la question 1.a. Pire seuls 200 d'entre eux ont réussi la question 1.b.
    Donc seuls 200 à 600 élèves savent faire des maths en France ?

    @Raoul.S
    Je n'ai pas compris ton idée ni le rapport avec $E(f)$ fini.
  • Je ne sais pas faire la question 2 de la partie 4.
    La question 3 de la partie 4 je pense pouvoir la trouver en cherchant, cela ne m'a pas l'air trop compliqué.
    Le début de la question 4 de la partie 4 m'a l'air pas difficile.
  • Je voulais te faire dessiner un truc, mais laisse tomber.

    Et cesse enfin de justifier ton incompétence par le niveau des autres. Tu es un adulte, arrête de te comporter comme un gamin.
  • "La moitié des meilleurs étudiants de France ne savent pas faire la 1.a" Crois les personnes comme moi qui ont fait prépa et qui te disent que c'est du grand n'importe quoi ! La 1.a est facile ! Tu es au 1er étage mais tu veux monter la dernière marche de l'escalier qui mène au 8ème étage ! Cette marche est facile à monter pour ceux qui en sont à l'avant dernière marche ou au moins envisageable pour ceux qui sont au 8ème étage, mais toi tu dois d'abord passer par les 7 autres étages avant d'essayer un sujet ENS.
  • Exactement. Le plus gros problème, ce n'est pas du tout de ne pas savoir résoudre un exercice, mais d'être absolument incapable d'évaluer son niveau, et au delà ses propres connaissances, malgré les avis de nombreuses personnes extérieures (tout le forum, en l'occurence).
  • Sauf que votre avis est naze, puisque vous n'êtes pas membres de jury.
  • Moi, qu'on me dise que je suis naze, ça ne me dérange pas, c'est probablement vrai en maths. Mais tous les intervenants, ça commence à faire beaucoup d'incompétents !
  • Je pense que tout a été dit.
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