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Rectangle ou pas !

Bonjour,

Je propose cet exercice.

Soit $ABC$ un triangle.

Montrer que :

$a^{2}+b^{2}+c^{2}=8R^{2}\Longleftrightarrow 90^{\circ}\in\{\hat{A},\hat{B},\hat{C}\}\ .$

Amicalement

Réponses

  • Bonjour,

    Le code:
    syms a b c real
    
    p=(a+b+c)/2;
    R2=(a*b*c)^2/(16*p*(p-a)*(p-b)*(p-c));
    
    Nul=numden(Factor(a^2+b^2+c^2-8*R2))
    
    donne comme résultat:
    (- a^2 + b^2 + c^2)*(a^2 - b^2 + c^2)*(a^2 + b^2 - c^2)
    
    puis Pythagore.

    Cordialement,

    Rescassol
  • Merci Rescassol
    Ou bien à la Lalesco:
    article 13.14, page 103
    $$\sin^2(A)+\sin^2(B)+\sin^2(C)=2(1+\cos(A)\cos(B)\cos(C))\qquad$$
    On multiplie le fourbi par $4R^2\ $ pour obtenir:
    $$a^2+b^2+c^2=8R^2(1+\cos(A)\cos(B)\cos(C))\qquad$$
    Amicalement
    [small]p[/small]appus
  • Bonjour,

    Si $a^{2}+b^{2}+c^{2}=8R^{2}$ alors la 84ème formule des 273 : $OH^2=9R^2-(a^2+b^2+c^2)$ nous donne $OH =R$, ce qui implique que le triangle $ABC$ est rectangle. La réciproque est claire.
  • Bonjour


    a2+b2+c2=8R2 si et seulement si : a = 2.R ou bien b = 2.R ou bien c = 2.R.

    Bien cordialement.
    Djelloul Sebaa
  • Bonsoir à tous et merci de vos contributions.

    Djelloul, peux-tu détailler pour nos lecteurs, merci.

    Cordialement.
  • Bonjour.

    a2+b2+c2=8R2 ( par hypothese ).....................................( 1 )

    On peut envisager trois cas :
    1) cas : a^2 = b^2 + c^2 ................................................ ( 2 )
    de ( 1 ) et (2) on tire : a = 2.R
    2) cas b^2 = a^2 + c^2 ....................................................( 3 )
    de ( 1 ) et ( 3 ) on tire b = 2.R.
    3) cas : c^2 = b^2 + a^2 ...................................................( 4 )
    de ( 1 ) et ( 4 ) on tire c = 2.R.

    Bien Cordialement.
    Djelloul Sebaa
  • Bonjour

    Oui , mais dans une équivalence il y a deux sens :-)

    Domi
  • Bonjour, ou bien dire que c'est un polynôme de degré 6 en $a$ ($b$ ou $c$) connaissant les 6 racines etc.
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